2016年01月01日几何综合1(6)

【点评】本题考查了勾股定理，矩形性质，旋转性质，全等三角形的性质和判定，三角形的中位线等知识点的应用，主要考查学生综合运行定理进行推理的能力，有一定的难度． 6．（2015秋?重庆校级期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，F在CD上，且AF垂直平分CD，FG平分∠AFD，交AD于G，连接GB，交AF于N，且FN=FD． （1）求证：△GFN≌△GFD；

（2）如图1，连接ND，若BC=ND，∠ADC=75°，求证：AN=AB；

（3）如图2，延长AF、BC交于点E，过B作BK⊥AE于K，若∠BAF=2∠E，猜想，AB与KF之间有何数量关系？请说明理由．

【考点】四边形综合题． 【分析】（1）由角平分线得出∠NFG=∠GFD，由SAS证明△GFN≌△GFD即可；

（2）连接AC，由等腰直角三角形的性质得出∠FDN=45°，由线段垂直平分线的性质得出AC=AD，证出∠CAD=30°，由SAS证明△ADN≌△ACB，得出对应边相等即可；

（3）取AB中点H，连接HF、HK，由直角三角形斜边上的中线性质得出HK=AB=AH，得出∠HAK=∠HKA，证明△AFD∽△EFC，得出对应边成比例，证出AF=EF，证明HF为△ABE的中位线，由三角形中位线定理得出HF∥BE，得出∠HFK=∠E，由角的关系得出∠HFK=∠FHK，得出HK=KF，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵FG平分∠AFD， ∴∠NFG=∠GFD， 在△GFN和△GFD中，

，

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∴△GFN≌△GFD（SAS）；

（2）证明：连接AC，如图1所示： ∵AF⊥CD，FN=FD，

∴△DFN为等腰直角三角形， ∴∠FDN=45°， ∵∠ADC=75°，

∴∠ADN=∠ADC﹣∠FDN=75°﹣45°=30°， 在Rt△AFD中，∠FAD=90°﹣75°=15° ∵AF垂直平分CD， ∴AC=AD，

∴∠ACD=∠ADC=75°， ∴∠CAD=30°， ∵AD∥BC，

∴∠BCA=∠CAD=30°， ∴∠ADN=∠BCA， 在△ADN和△ACB中，

，

∴△ADN≌△ACB（SAS）， ∴AN=AB；

（3）解：AB与KF之间有何数量关系为：AB=2KF；理由如下： 取AB中点H，连接HF、HK，如图2所示： ∵在Rt△AKB中，H为AB中点， ∴HK=AB=AH， ∴∠HAK=∠HKA， ∵∠BAF=2∠E， ∴∠HKA=2∠E， ∵AD∥BE，

∴△AFD∽△EFC， ∴

=

=1，

∴AF=EF，

∵H为AB中点，

∴HF为△ABE的中位线， ∴HF∥BE， ∴∠HFK=∠E，

∴∠HKA=2∠HFK，

∵∠HKA=∠HFK+∠FHK， ∴2∠HFK=∠HFK+∠FHK， ∴∠HFK=∠FHK， ∴HK=KF， ∵HK=AB，

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即AB=2HK， ∴AB=2KF．

【点评】本题是四边形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（2）和（3）中，需要通过作辅助线证明三角形全等，运用三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线性质才能得出结论． 7．（2015秋?黄陂区期中）如图，在正方形ABCD中，将正方形的边AD绕点A顺时针旋转到AE，连接BE、DE，过点A作AF⊥BE于F，交直线DE于P．

（1）如图①，若∠DAE=40°，求∠P的度数；

（2）如图②，若90°＜∠DAE＜180°，其它条件不变，试探究线段AP、DP、EP之间的数量关系，并说明理由；

（3）继续旋转线段AD，若旋转角180°＜∠DAE＜270°，则线段AP、DP、EP之间的数量关系为 PE=PD+PA （直接写出结果）

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【考点】四边形综合题． 【分析】（1）根据正方形的性质得到AD=AB，∠BAD=90°，由AD绕点A顺时针旋转到AE，得到AD=AE，根据等腰三角形的性质得到∠ADE=∠AED=70°，∠BAE=50°，∠FAE=∠FAB=25°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；

（2）如图2，过A作AQ⊥DE于Q，于是得到∠PAQ=∠BAQ+∠FAB，根据等腰三角形的性质得到

∠FAE=∠BAF，由外角的性质得到∠APQ=∠EAF+∠AEP于是得到∠APQ=∠PAQ=45°，求出PQ=由于PE+PQ=PD﹣PQ，即PE+

AP=PD﹣

AP，于是得到结论；

AP，

（3）如图3，过A作AQ⊥DE于Q，则∠AQP=90°，由AD=AE，得到DQ=EQ，∠AEQ=∠ADQ，同理得到∠3=∠FAB，根据外角的性质得到∠APQ=∠3﹣∠AEQ=∠3﹣∠ADQ，等量代换得到∠2=90°﹣∠1﹣∠ADP=90°﹣（90°﹣∠3）﹣∠AEP=∠3﹣∠AEP，求得∠2=∠APQ=45°，于是得到PQ=PD+PQ=PE﹣PQ，即可得到结论：PE=PD+PA． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠BAD=90°，

∵AD绕点A顺时针旋转到AE， ∴AD=AE， ∵∠DAE=40°，

∴∠ADE=∠AED=70°，∠BAE=50°， ∵AF⊥BE，

∴∠FAE=∠FAB=25°，

∴∠P=∠AED﹣∠PAE=45°；

（2）如图2，过A作AQ⊥DE于Q，则∠PAQ=∠BAQ+∠FAB， ∵AE=AB，AF⊥BE， ∴∠FAE=∠BAF，

∴∠APQ=∠EAF+∠AEP， ∵∠BAD=∠AQP=90°， ∴∠BAQ=∠ADQ， ∵AE=AD，

∴∠ADQ=∠AEP， ∴∠BAQ=∠AEP， ∴∠APQ=∠PAQ=45°， ∴PQ=

AP，

AP，然后由

∴PE+PQ=PD﹣PQ， 即PE+

AP=PD﹣

AP，

∴PD=AP+PE；

（3）如图3，过A作AQ⊥DE于Q，则∠AQP=90°， ∵AD=AE，

∴DQ=EQ，∠AEQ=∠ADQ，

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∵AE=AB，AF⊥BE， ∴∠3=∠FAB，

∵∠APQ=∠3﹣∠AEQ=∠3﹣∠ADQ， ∵∠1+∠FAB=∠FAB+∠ABF=90°， ∴∠1=∠ABF=∠AEF，

∴∠2=90°﹣∠1﹣∠ADP=90°﹣（90°﹣∠3）﹣∠AEP=∠3﹣∠AEP， ∴∠2=∠APQ=45°， ∴PQ=

AP，

∴PD+PQ=PE﹣PQ， 即PD+

PA=PE﹣

PA，

∴PE=PD+PA． 故答案为：PE=PD+

PA．

【点评】本题考查了正方形的性质，图形的变换﹣旋转，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 8．（2015秋?建湖县期中）如图，正方形ABCD的边长为4cm，点E、F在边AD上运动，且AE=DF．CF交BD于G，BE交AG于H． （1）求证：∠DAG=∠ABE；

（2）①求证：点H总在以AB为直径的圆弧上；

②画出点H所在的圆弧，并说明这个圆弧的两个端点字母； （3）直接写出线段DH长度的最小值．

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