2016年01月01日几何综合1(7)

【考点】四边形综合题． 【分析】（1）根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DAG=∠DCG，利用“边角边”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DCF=∠ABE，从而证得∠DAG=∠ABE；

（2）①根据全等三角形对应角相等可得∠DCF=∠ABE，从而证得∠DAG=∠ABE，然后求出∠AHB=90°，再根据圆周角定理即可证得；

②以AB的中点O为圆心，OA长为半径画弧，交BD于I；

（3）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，取AB的中点O，连接OH、OD，然后求出OH=AB=1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小． 【解答】（1）证明：如图1，在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG， 在△ABE和△DCF中，

，

∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴∠ABE=∠DCF，

在△ADG和△CDG中，

，

∴△ADG≌△CDG（SAS）， ∴∠DAG=∠DCF， ∴∠DAG=∠ABE；

（2）①如图1，∵∠DAG=∠ABE，∠BAH+∠DAG=∠BAD=90°， ∴∠ABE+∠BAH=90°， ∴∠AHB=180°﹣90°=90°， ∴BE⊥AG，

∴点H总在以AB为直径的圆弧上；

②如图2，以AB的中点O为圆心，OA长为半径画弧，交BD于I（I是BD的中点），弧的两个端点为A和I．

（3）如图3，取AB的中点O，连接OH、OD， 则OH=AO=AB=2cm， 在Rt△AOD中，OD=

=

=2

，

根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，

∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小， DH的最小值=OD﹣OH=2﹣2．

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【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出DH最小时点H的位置是解题关键，也是本题的难点． 9．（2015春?重庆校级期中）如图1，?ABCD中，AE⊥BC于E，AE=AD，EG⊥AB于G，延长GE、DC交于点F，连接AF． （1）若BE=2EC，AB=，求AD的长； （2）求证：EG=BG+FC； （3）如图2，若AF=5，EF=2，点M是线段AG上的一个动点，连接ME，将△GME沿ME翻折得△G′ME，连接DG′，试求当DG′取得最小值时GM的长．

第32页（共84页）

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）设AE=AD=BC=x，则BE=，CE=x，根据勾股定理求出x，得到答案；

（2）作GH∥BC，交CD于点H，根据全等三角形的判定方法，判断出△AGE≌△GFH，即可证明EG=BG+FC； （3）首先作MK⊥AE于点K，只有当E、G′、D在一条直线上时，DG′取得最小值，根据AF=5，EF=2，求出AG=GF=5，GE=3，然后根据相似三角形的性质，求出当DG′取得最小值时GM的长是多少即可． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BC，BE=2EC， 设AE=AD=BC=x，则BE=

2

2

，CE=x，

2

在Rt△ABE中，BE+AE=AB， 即（

）+x=13，

2

2

解得x=±3， 即AB=3；

（2）证明：如图1，作GH∥BC，交CD于点H，， ∵EG⊥AB，AB∥CD， ∴FG⊥CD， ∴∠GFH=90°，

∵AE⊥BC，GH∥BC， ∴AE⊥GH，

∴∠GAE+∠AGH=90°， 又∵∠FGH+∠AGH=90°， ∴∠GAE=∠FGH， ∵AE=AD，GH=AD， ∴AE=GH，

在△AGE和△GFH中，

，

∴△AGE≌△GFH（AAS），

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∴EG=FH=FC+CH， 又∵CH=BG， ∴EG=BG+FC．

（3）如图2，作MK⊥AE于点K，，

只有当E、G′、D在一条直线上时，DG′取得最小值， ∵AF=5， ∴AG=GF=5， 又∵EF=2，

∴GE=GF﹣EF=5﹣2=3， 在Rt△AGE中， AE=

，

∵将△GME沿ME翻折得△G′ME， ∴G′E=GE=3， ∴EI=3，

在Rt△AKM和AGE中，

，

∴△AKM∽AGE， ∴MK=KI， ∴KI=AI，MI=∴GM=

，

．

，

∴当DG′取得最小值时GM的长是

【点评】（1）此题主要考查了四边形综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合方法的应用；

（2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握； （3）此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．

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10．（2015秋?重庆校级期中）如图，已知△ABC，以AC为底边作等腰△ACD，且使∠ABC=2∠CAD，连接BD．

（1）如图1，若∠ADC=90°，∠BAC=30°，BC=1，求CD的长； （2）如图1，若∠ADC=90°，证明：AB+BC=BD；

（3）如图2，若∠ADC=60°，探究AB，BC，BD之间的数量关系并证明．

【考点】四边形综合题． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和已知求出CD的长；

（2）作DE⊥AB于E，DF⊥BC交BC的延长线于F，证明△AED≌△CFD，得到DE=DF，AE=CF，根据正方形的性质证明结论；

（3）延长BC至G，使CG=AB，证明△DAB≌△DCG，得到△DBG是等边三角形，得到答案． 【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，DA=DC， ∴∠CAD=45°，

∴∠ABC=2∠CAD=90°，又∠BAC=30°， ∴AC=2BC=2，

∴CD=AC×sin∠CAD=；

（2）作DE⊥AB于E，DF⊥BC交BC的延长线于F， ∵∠ADC=90°，DA=DC， ∴∠CAD=45°，

∴∠ABC=2∠CAD=90°， ∴四边形DEBF是矩形， ∵∠ABC=∠ADC=90°， ∴∠BAD+∠BCD=180°， ∴∠BAD=∠FCD， 在△AED和△CFD中，

，

∴△AED≌△CFD， ∴DE=DF，AE=CF，

∵四边形DEBF是矩形，DE=DF， ∴四边形DEBF是正方形， ∴BE=BF=

BD，又AE=CF，

BD；

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∴AB+BC=BE+BF=

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