2016年01月01日几何综合1(2)

11．如图，点E为正方形ABCD的边BC所在直线上的一点，连接AE，过点C作CF⊥AE于F，连接BF． （1）如图1，当点E在CB的延长线上，且AC=EC时，求证：BF=

；

（2）如图2，当点E在线段BC上，且AE平分∠BAC时，求证：AB+BE=AC；

（3）如图3，当点E继续往右运动到BC中点时，过点D作DH⊥AE于H，连接BH．求证：∠BHF=45°．

12．如图，四边形ABCD是正方形，E是边AB上一点，连接DE，将直线DE绕点D逆时针旋转90°，交BC的延长线于点F．

（1）如图1，求证：DE=DF；

（2）如图2，连接EF，若D关于直线EF的对称点为H，连接CH，过点H作PH⊥CH交AB于点P，求证：E为AP中点；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接AC交EF于点G，连接BG，BH，若BG=，AB=3，求线段BH的长

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13．如图，在正方形ABCD中，G为AB边的中点，∠BAD的平分线交DG于M，过点B作BE⊥BD交DG的延长线于点E，再过点A作AF⊥DG，交BC边于点F，交BD边于点N． （1）求证：AM=BN； （2）求证：AN=2EG；

（3）连接MN，若正方形ABCD的边长为2，求MN的长．

14．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，BD=24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形 ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连接FM．

（1）求AO的长；

（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：AC=（3）连接EM，若△AEM的面积为40，请直接写出△AFM的周长．

AM；

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15．已知正方形ABCD，E为对角线BD上一点，过E点作EF丄BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

（1）直接写出线段EG与CG的数量关系；

（2）将图①中的△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②，取DF的中点G，连接EG，CG．你在（1）中得到印结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．

（3）将图①中的△BEF绕B点旋转任意角度，如图③，再连接相应的线段，则（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）

16．已知，矩形ABCD中，BC=2AB，点M为AD边的中点，连接BD，点P在对角线BD上，连接AP，以点P为顶点作∠EPF=90°，PE交AB边于点E，PF交AD边于点F． （1）当∠PBA与∠PAB互余（如图a）时，求证：BE﹣MF=AB；

（2）当∠PBA与∠PAB相等（如图b）时，求证：BE、MF、AB间的数量关系为 ． （3）在（2）的条件下，连接EF并延长EF，交直线BD于点G，若BE：AF=2：3，EF=，求DG的

长

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．

17．如图，点E是矩形ABCD的边BC的中点，连接DE交AC于点F． （1）如图①，求证：AF=2CF；

（2）如图②，作DG⊥AC于G，试探究：当AB与AD满足什么关系时，使得AG=CF成立？并证明你的结论； （3）如图③，以DE为斜边在矩形ABCD内部作等腰Rt△DEM，交对角线BD于N，连接AM，若AB=AD，请直接写出

的值．

18．探究并证明以下问题：

（1）如图1，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且∠AOB=60°，点BO为线段上任意一点，以AP为边作等边三角形APF．连结BF，求证：BF=OP． （2）如图2，在正方形ABCD中，点P为BC边上任意一点，以AP为边作正方形APMN，F为正方形APMN的中心，连结BF，直接写出BF与CP的数量关系 ．

（3）如图3，在菱形ABCD中，AB：AC=m：n，点P为BC边上一点，以AP为对角线作菱形AFPM，满足∠ABC=∠AFP，连结BF，猜想BF与CP的数量关系，并证明你的结论．

19．如图，正方形ABCD中，E为BC延长线上一点，F为DC上一点，且CE=CF，连接BF并延长与DE交于点G．

（1）如图①，求证：BG⊥DE；

（2）如图②，当点F为边CD的中点时，连接EF并延长交AD于点H，连接BH，求证：四边形BEDH是等腰梯形；

（3）如图③，点G是DE的中点时，连接BD、AG交于点M，求证：DE=AM．

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20．如图，四边形ABCD是边长为的正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM． （1）求证：△AMB≌△ENB；

（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；

②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并求出这个最小值．

21．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，∠ADB=∠CAD+∠ABD，∠BAD=3∠CBD．

（1）求证：△ABC为等腰三角形；

（2）M是线段BD上一点，BM：AB=3：4，点F在BA的延长线上，连接FM，∠BFM的平分线FN交BD于点N，交AD于点G，点H为BF中点，连接MH，当GN=GD时，探究线段CD、FM、MH之间的数量关系，并证明你的结论．

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