物理高考解题技巧(6)

为零，故系统总动量守恒。系统初动量为mv0，当物体静止在车厢中时，二者具有相同的速度，设为v则：

mv0M+mmv0=(M+m)v，解得v=，选项C对。

2、若系统所受外力之和不为零，则系统的总动量不守恒，但如果某一方向上的外力之和为零，则该方向上的动量守恒

例9：如图8-5，将质量为m的铅球以大小为v0，与水平方向倾角为的初速度抛入一个装着沙子的总质量为M的静止的砂车中，砂车与地面的摩擦不计，球与砂车的共同速度为多少？

解析：把铅球和砂车看成一个系统，系统在整个过程中不受水平方向的外力，则水平方向上的动量守恒，而在竖直方向上，当铅球落在砂车中时，地面与系统的支持力不等于系统

的总重力，故系统在竖直方向上动量不守恒（另外，也可以从结果上来看：初始状态系统在竖直方向上有速度v0sinθ，而最终整个系统只有水平方向的速度，由此也能得到系统竖直方向上动量不守恒）。

mv0cosθm+MΘ v 0图8-5

设系统后来共同速度为v，则mv0cosθ=(m+M)v，v=

3、若系统所受外力之和不为零，但是外力远小于内力，可以忽略不计，则物体相互作痛过程动量近似守恒。如碰撞、爆炸等。

例10：质量为M的木块静止在水平面上，木块与地面间的动摩擦系数为μ，一颗质量为m的子弹水平射入木块后，木块沿水平面滑行s后停止，试求子弹射入木块前的速度v0。

解析：子弹射入木块过程中，木块受地面的摩擦力为F，此力即为子弹与木块组成的系统所受的外力，不为零。但子弹与木块打击时，相互作用力F内>>F外，摩擦力可忽略不计，系统的动量近似守恒。 设子弹射入木块后，子弹与木块的共同速度为v， 由动量守恒定律得：mv0=(m+M)v ? ?① 此后，子弹和木块一起做匀减速直线运动，由动能定理得

??(m?M)gs?0?12M+mm(m?M)v ? ?② 2μgs

2由①②得：v0=“三表达 ”——动量守恒定律有三种常用的数学表达式

1、系统的初动量等于末动量，即P=P′。例题中很多见，读者自己查看。 2、若A、B两物体组成的系统在相互作用过程中动量守恒，则ΔPA=ΔPB（负号表示ΔPA与ΔPB方向

相反）

例11：质量相等的三个小球a、b、c在光滑的水平面上以相同的速率运动，它们分别与原来静止的三个球A、B、C相碰（a与A，b与B，c与C）。碰后，a球继续沿原来的方向运动，b球静止不动，c球被弹回而反向运动，这时ABC三球中动量最大的是（ ）

A、A球 B、B球 C、C球 D、由于A、B、C三球质量未知，无法判定

解析：三球在碰撞过程中动量都守恒，且a、b、c三球在碰撞过程中，动量变化的大小关系为：

ΔPc>ΔPb>ΔPa。由动量守恒定律知：?Pa???PA,?Pb???PB,?Pc???PC，所以A、B、C三球在

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碰撞过程中动量变化的大小关系为ΔPC>ΔPB>ΔPA。由于A、B、C三球初动量都为零，所以碰后它们的动量大小关系为PC>PB>PA，故选项C正确。

3、若A、B两物体相互作用过程中动量守恒，则mAxA=mBxB。但此表达式仅适用于系统总动量恒为零的情况（xA、xB分别为A、B在作用过程中的位移大小），或系统某方向上总动量恒为零的情况（此时的xA、xB分别为A、B在作用过程中，在该方向上的位移大小）。比如人船模型。 五、构建基本物理模型——学好动量守恒的法宝：

1、人船模型：

特点：系统初始动量为零，你动我反动，你快我快，你慢我慢，你停我也停。从能量的角度看，当系统运动时，人体内化学能转化为系统动能。

例15：如图8-6所示，在平静的水面上浮着一只质量为M、长度为L的船(船处于静止状态)，船的右端(B端)站着一个质量为m的人，当人从船的右端走到船的左端(A端)的过程中，怎样求船的位移SM的大小?(水的阻力不计)

解析：研究人和船组成的系统，以水平向左的方向为正方向。设vm、vM分别为人、船在某同一时刻的速度，则由动量守恒定律，有mvm?M(?vM)?0,即mvm=MvM

m A M B 经很短时间△t(在这很短的时间内，可认为人、船分别以大小为vm、vM的速度分别向左、向右做匀速运动)，有mvmΔt=MvMΔt

A 所以m∑vm?t?M∑vM?t

M Sm B

因为∑vmΔt=Sm ，∑vMΔt=SM 所以mSmSM =MSM

图8-6

因为Sm+SM=L 所以船的位移大小为SM=mm+ML,人对地面的位移大小为Sm=mm+ML

有些书上利用人船系统平均动量守恒，也得到了结论，但是没有注意动量守恒定律的瞬时性，那只是一种等效的做法。 拓变：“类人船模型”，见活题巧解例13、例14 。 2、“子弹打木块”模型

特点：一个物体在另一个物体表面或内部运动，在运动方向不受外力，动量守恒。从能量的观点看，系统的动能损失转化为两者的内能。特别注意fs相对路程??EK。

例16：质量为M的木块静止在光滑水平面上，一质量为m速度为v0的子弹水平射人木块中，求：1）、如果子弹，而静止在木块中，子弹的最终速度；2）、如果子弹未穿出，所受阻力的大小恒为F，求子弹打进木块的深度为L。3）、如果子弹能够以速度v1穿出，求子弹穿出后，木块的速度。 解：选系统为研究对象，水平方向不受外力，动量守恒。

1）、题中的“静止”，只是两者相对静止，设他们的共同速度为v，mv0=(m+M)v

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则：v?mv0M?m ①

2）、从能量的观点看系统克服内部摩擦力做功(摩擦力与物体相对路程的乘积)等于系统动能的损失。即

fs相对路程??EK。该式一定要记住。例如活题巧解（例16—例18）

由系统能量守恒得：FL?Mmv1220mv0?212(m?M)v ②

2由①②解得： L?2F(M?m)

3）、系统动量守恒：mv0=mv1+Mv2 则：v2?mv0?mv1M

v0 m M 注意：方程②是解题的捷径，推导如下：如图8-7， 分别选子弹和木块为研究对象，由动能定理得 对子弹： ?F(L?x)?对木块： Fx?12Mv212mv2?12mv ③

20x 图8-7

L ?0 ④ 12(m?M)v?2由③+④解得：?FL?12mv0 除去负号就可得方程②。

2拓变：“类子弹木块”模型——木块与平板车，见活题巧解例15、例16、例17 。 3、“木块弹簧”模型

特点：两物体之间通过弹簧作用，不受其它外力，满足动量守恒，从能量观点看，系统中有弹性势能参与转化，并且当两物体速度相等时，弹簧压缩量最大，弹簧弹性势能达到最大。

例17、如图8-8所示，质量M=2m的光滑木板静止放在光滑水平面上，

v0 木板左端固定一根轻质弹簧，一质量为m的小木块(可视为质点)，从木块的右端以未知的速度v0开始沿木板向左滑行。若在小木块压缩弹簧的过程中，弹簧具有最大的弹性势能为Ep，求未知速度v0的大小。

解：木板、木块、弹簧三者所组成的系统满足动量守恒。当木块与木板达到共同速度，两者相距最近，弹簧压缩量最大，弹簧具有最大弹性势能。mv0=(m+M)v ① 又因为系统能量守恒得：

12mv0?2图8-8

12(m?M)v?EP ②

由①②得：v0=2Ep(M+m)Mm

拓变：系统中不仅有弹性势能，而且还有内能参与转化。活题巧解例20。

六、巧用动量守恒定律求解多体问题：

1、巧选对象

对多物体系统，由于参与作用的物体较多，作用的情况比较复杂，因此，要从巧选研究对象和巧选研究过程上找到解题的突破口。既要注意系统总动量守恒，还要注意系统内某几个物体发生作用时动量也守恒。

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例12：质量相等的五个物体在光滑水平面上间隔一定距离排成一条直线，如图8-9所示，具有初速度v0的物体1向其它4个静止物体运动，依次发生碰撞，每次碰撞后不再分开，最后5个物体粘成一整体，则这个整体的速度等于多少？

解析：这是一个涉及五个物体的多物体系统。当物体1与物体2 发生碰撞的过程中，取物体1和物体2为研究对象，它们的总动量守恒。接着，物体1和物体2组成一个物体，在与物体3发生碰撞，取物体1、物体2和物体3为研究对象，它们的总动量也守恒。依此类推，本题一共将发生四次碰撞，每次碰撞都满足动量守恒条件，分别1 2 3 4 5 应用动量守恒定律求出每次碰撞后的速度，从而可求出最后的结

图8-9

果。但如果取有五个物体组成的系统为研究对象，它们的总动量守恒，求解过程就显得非常的简便：mv0=5mv ,得：v=v0/5。

2、构建模型

在多物体系统内发生相互作用的过程中，不仅要认清作用的过程和参与的物体，而且要根据作用的特点和规律物理模型，为顺利运用动量守恒定律铺平道路，尤其是对碰撞类问题，由于碰撞时间极短、作用力很大等特点，参与作用的往往就是发生碰撞的两个物体，而与其他物体无关。

例13：如图8-10，甲、乙两完全一样的小车，质量都为M，乙车内用绳吊一质量为M的小球，当乙车

21静止时，甲车以v速度与乙车相碰，碰后连为一体，求：（1）、两车刚碰后的共同速度多大？（2）、小球摆到最高点时的速度为多大？

解析：由于碰撞时间极短，乙车在碰撞时间内的位移可忽略不计，小球来不及摆动，球与车在水平方向无作用。选择甲和乙为研究对象，构建碰撞模型，由动量守恒定律得：

Mv=(m+M)v1，解得v1=v2甲 v 乙

图8-10

接着，两车整体以共同速度v1向右运动，在绳子的作用下，小球使车向右减速，小球向右加速，参与作用的是三个物体。摆到最高点的意思，就是小球无法再相对于乙车向上升，即没有竖直向上的速度（相对与乙的速度），所以此时，球与乙（包括甲）的速度相等：2Mv1=(2M+12M)v2，解得v2=2v5

3、巧用定律：动量守恒定律的表达式很多（见上面“三表达”），恰当选择表达方式可以简化问题。 4、寻找规律：对多物体参与作用，作用过程又比较复杂的多物体问题，又是让人觉得无从下手。解决这类问题，要善于弄清每一个子过程和在各子过程中参与作用的物体，对各子过程的作用特点及物体的运动特征进行深入地分析、归纳和总结。

七、巧用动量守恒定律求解多过程问题：

与前面所述不同的是，这类问题特点是作用过程太多，但参与物体未必很多。关键在于分析，采用程序法确定所研究的系统是由哪些物体组成的，对全过程进行分段分析，明确在哪些阶段中，哪些物体发生相互作用，牢牢把握每个子过程的物理特征，若涉及子过程的问题就要采用子过程求解法；若只考虑最终的结果，宜采用全过程求解法。 例14：（2004年·全国理综）如图8-11，长木板ab的b端固定一挡板，木板连同挡板的质量为M=4.0kg，a、b间距离S=2.0m。木板位于光滑水平面上，在木板a端有一小物块，其质量m=1.0kg，小物块与木板间的动摩擦因数μ=0.1。它们都处于静止状态。现令小物块以初速V0=4.0m/s沿木板向前滑动，直到和挡板相撞。碰撞后，小物块恰好回到a端而不脱离木板。求碰撞过程中损失的机械能。 分析：整个运动过程可分为以下几个阶段：

（1）物块开始运动到与b碰撞，摩擦力对木板做功W1，对物块做功为W2；

（2）碰撞后物块回到a端过程，摩擦力对木板做功W3，对物

a S 图8-11

b 块做功为W4；

则全过程中摩擦力做的总功为：W= W1 +W2 +W3+ W4，碰撞过程中损失的机械能可用全过程损失的机械能

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减摩擦力所做的功。

解答：设木块与物块最后共同的速度为V，全过程中损失的机械能为E： 则动量守恒和能量守恒定律： mV0=（M+m）V

设物块从开始运动到碰撞前瞬间木板的位移为S1， 则这段时间 摩擦力对木板做功：W1=μmgS1，对物块做功为：W2= ?μmg（S+S1） 设从碰撞后瞬间到物块回到a端时木板的位移为S2，则这段时间 摩擦力对木板做功：W3= ?μmgS2，对物块做功为：W2=μmg（S2?S） 所以碰撞过程中损失的机械能：E1=E?（W1 +W2 +W3+ W4）

代入数据得：E1=2.4J。

八、从能量角度看动量守恒问题中的基本物理模型——动量学习的提高篇（供基础较好的学生学习）。 前面所述的3种模型，是从构成系统的具体物体的名称来划分物理模型的。从能量角度，可把动量守恒问题中的基本物理模型分为：

1、反冲、爆炸：满足动量守恒的同时，系统动能增加。如“人船模型” 2、碰撞：满足动量守恒的同时，系统动能不会增加。

特点：作用时间很短，相互作用力很大。系统内力远大于外力，系统动量守恒。

一般过程：一般经历接触、压缩、共速、恢复、分离等过程，碰撞过程中，当物体的速度相同时，系统的动能最小，损失的动能最大，产生的其他能最多。

A、弹性碰撞：系统损失的动能全部转化为弹性势能，但碰撞损失的动能能够完全恢复。既满足动量守恒定律又满足机械能守恒定律。如“木块弹簧模型”。 如果质量相等的物体发生弹性碰撞，碰后两者速度交换。

B、一般的非弹性碰撞：碰撞损失的动能只是部分恢复。

C、完全非弹性碰撞：碰撞损失的动能完全没有恢复，全部转化为内能。最终以“共速”结束。

例18：动量分别为5kg·m/s和6kg·m/s的小球A、B沿光滑平面上的同一条直线同向运动，A追上B并发生碰撞后。若已知碰撞后A的动量减小了2kg·m/s，而方向不变，那么A、B质量之比的可能范围是什么？

解析：A能追上B，说明碰前vA>vB,∴为碰撞过程系统动能不会增加，

525mA6>26mB≥；碰后A的速度不大于B的速度，即

323mA≤mAmB8mB≤；又因

472mA+2mB2mA+82，由以上不等式组解得：382mB≤

此类碰撞问题要考虑三个因素：①碰撞中系统动量守恒；②碰撞过程中系统动能不增加；③碰前、碰后两个物体的位置关系（不穿越）和速度大小应保证其顺序合理。

九、一条连等巧串三把“金钥匙”

速度、动量、能量三个物理量最重要的区别是前两个是矢量，而能量是标量。但三者又有着密切的联系，EK?12mv2?P22m。这条连等式又反应

了三大观点(图8-12)，俗称解题的三把“金钥匙”，领会并使用好这种关系，可以很好的解决力学综合题，特别是历年高考压轴题。1、力的观点。首先是受力分析，如果是匀变速运动问题或是要求加速度，还可以用牛顿运动定律和运动学公式。2、动量的观点：从动量角度（动量守恒定律和动量定理）解题时有时优

图8-12

先考虑。3、能量的观点：涉及功能转化的则

考虑能量观点（机械能守恒定律、能量守恒定律、动能定理、功能原理）。

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例19：（04年·全国理综）柴油打桩机的重锤由气缸、活塞等若干部件组成，气缸与活塞间有柴油与空气的混合物。在重锤与桩碰撞的过程中，通过压缩使混合物燃烧，产生高温高压气体，从而使桩向下运动，锤向上运动。现把柴油打桩机和打桩过程简化如下：

柴油打桩机重锤的质量为m，锤在桩帽以上高度为h处（如图8-13）从静止开始沿竖直轨道自由落下，打在质量为M（包括桩帽）的钢筋混凝土桩子上。同时，柴油燃烧，产生猛烈推力，锤和桩分离，这一过程的时间极短。随后，桩在泥土中向下移动一距离l。已知锤反跳后到达最高点时，锤与已停下的桩幅之间

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的距离也为h（如图2）。已知m＝1.0×10kg，M＝2.0×103kg，h＝2.0m，l＝0.20m，重力加速度g＝10m/s，混合物的质量不计。设桩向下移动的过程中泥土对桩的作用力F是恒力，求此力的大小。 解：锤自由下落，碰桩前速度v1向下， v1=2gh ①

碰后，已知锤上升高度为（h－l），故刚碰后向上的速度为 v2?2g(h?l) ②

设碰后桩的速度为V，方向向下，由动量守恒， mv1?MV?mv2 ③

桩下降的过程中，根据功能关系，

12MV2+Mgl=Fl ④

由①、②、③、④式得F?Mg?mgml(M)[2h?l?2h(h?l)] ⑤

代入数值，得 F=2.1×105N ⑥ 图8-13

注意：①②式由力得观点得出，③式由动量得观点得出，④式由能量的观点得出。

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