量子力学典型例题分析解答1(6)

同理算符 的本征值也为 .

② 在A表象，算符 的矩阵为一对角矩阵,对角元素为本征值，即

设

利用

B为厄密算符

即

又

取：

第五章 例题

重点：微扰论

1． 一根长为 ，无质量的绳子一段固定于支点，另一端系质量为的 质点 ，在重力作用

下，质点在竖直平面内摆动。i) 在小角近似下，求系统能级；ii) 求由于小角近似的误差产生的基态能量的一级修正。

解：i ) 势能： 系统的哈密顿量

在小角近似下:

ii )若不考虑小角近似

又

利用公式

,

同样

2. 一维谐振子的哈密顿量为 ，假设它处于基态，若在加上一个弹力

作用 ，使用微扰论计算

对能量的一级修正，并与严格解比较。

解：i )

,

又

ii) 严格解

发生了变化

3． 已知体系的能量算符为

量算符。（1）求体系能级的精确值。（2）视 [解]：i) 精确解

, 其中 , 为轨道的角动

项为微扰项，求能级至二级近似值。

令 ， 并在 平面上取方向

：

与z轴的夹角为 ， 则

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