量子力学典型例题分析解答1(2)

计算行列式,得方程

例题

主要类型: 1.算符运算; 2.力学量的平均值; 3.力学量几率分布. 一. 有关算符的运算 1.证明如下对易关系

(1)

(2)

(3)

(4)

(5) [证]

(1)

(2)

(3)

一般地,若算符 是任一标量算符,有

(4)

一般地,若算符

是任一矢量算符,可证明有

(5)

=0

同理：

。

2. 证明哈密顿算符为厄密算符

[解]考虑一维情况

为厄密算符, 为厄密算符,

为实数

为厄密算符

为厄密算符

3已知轨道角动量的两个算符 和 共同的正交归一化本征函数完备集为

,

取: 试证明: 也是 和

共同本征函数, 对应本征值

分别为:

。

[证]

。

是 的对应本征值为

的本征函数

又:

是 的对应本征值为

的本征函数

可求出:

二.有关力学量平均值与几率分布方面

1. (1)证明

征值；(2)求x在

态中的平均值

是 的一个本征函数并求出相应的本

[解]

即

是 的本征函数。本征值

2. 设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数

描写。求粒子能量的可能值相应的概率及平均值

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