2013中考数学分类汇编：代数几何综合(6)

∴设M（－1，n），作MG⊥x轴于G，MH⊥y轴于H，连接MC、MB.

∴MH=1，BG=2. ?????4′ ∵MB=MC，∴BG2+MG2=MH2+CH2，

即4+n2=1+（3+n）2，解得n=－1，∴点M（－1，－1） ?????5′ （3）如图，由M（－1，－1），得MG=MH. ∵MA=MD，∴Rt△AMG≌RtDMH，∴∠1=∠2. 由旋转可知∠3=∠4. ∴△AME≌△DMF.

若△DMF为等腰三角形，则△AME为等腰三角形. ?????6′ 设E（x，0），△AME为等腰三角形，分三种情况： ①AE=AM=5，则x=5－3，∴E（5－3，0）；

②∵M在AB的垂直平分线上，

∴MA=ME=MB，∴E（1，0） ?????7′ ③点E在AM的垂直平分线上，则AE=ME.

AE=x+3，ME2=MG2+EG2=1+（－1－x）2，∴（x+3）2=1+（－1－x）2，解得x=?（?7，0）. 47，0） ?????8′ 47，∴E4∴所求点E的坐标为（5－3，0），（1，0），（?

14、（2013四川宜宾压轴题）如图，抛物线y1=x2﹣1交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，将此抛物线向右平移4个单位得抛物线y2，两条抛物线相交于点C． （1）请直接写出抛物线y2的解析式；

（2）若点P是x轴上一动点，且满足∠CPA=∠OBA，求出所有满足条件的P点坐标； （3）在第四象限内抛物线y2上，是否存在点Q，使得△QOC中OC边上的高h有最大值？若存在，请求出点Q的坐标及h的最大值；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题． 专题：代数几何综合题．

分析：（1）写出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可； （2）根据抛物线解析式求出点A、B的坐标，然后求出∠OBA=45°，再联立两抛物线解析式求出交点C的坐标，再根据∠CPA=∠OBA分点P在点A的左边和右边两种情况求解； （3）先求出直线OC的解析式为y=x，设与OC平行的直线y=x+b，与抛物线y2联立消掉y得到关于x的一元二次方程，再根据与OC的距离最大时方程有且只有一个根，然后利用根的判别式△=0列式求出b的值，从而得到直线的解析式，再求出与x轴的交点E的坐标，得到OE的长度，再过点C作CD⊥x轴于D，然后根据∠COD的正弦值求解即可得到h的值．

解答：解：（1）抛物线y1=x2﹣1向右平移4个单位的顶点坐标为（4，﹣1）， 所以，抛物线y2的解析式为y2=（x﹣4）2﹣1； （2）x=0时，y=﹣1，

y=0时，x2﹣1=0，解得x1=1，x2=﹣1， 所以，点A（1，0），B（0，﹣1）， ∴∠OBA=45°， 联立

，

解得，

∴点C的坐标为（2，3）， ∵∠CPA=∠OBA，

∴点P在点A的左边时，坐标为（﹣1，0）， 在点A的右边时，坐标为（5，0）， 所以，点P的坐标为（﹣1，0）或（5，0）； （3）存在． ∵点C（2，3），

∴直线OC的解析式为y=x， 设与OC平行的直线y=x+b，

联立，

消掉y得，2x2﹣19x+30﹣2b=0，

当△=0，方程有两个相等的实数根时，△QOC中OC边上的高h有最大值， 此时x1=x2=×（﹣此时y=（

）=

， ， ，﹣

），使得△QOC中OC边上的高h有最大值，

﹣4）2﹣1=﹣

∴存在第四象限的点Q（

此时△=192﹣4×2×（30﹣2b）=0， 解得b=﹣

，

，

∴过点Q与OC平行的直线解析式为y=x﹣令y=0，则x﹣

=0，解得x=

， ，0），

设直线与x轴的交点为E，则E（

过点C作CD⊥x轴于D，根据勾股定理，OC=则sin∠COD=解得h最大=

=×

， =

．

=，

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了利用平移变换确定二次函数解析式，联立两函数解析式求交点坐标，等腰三角形的判定与性质，（3）判断出与OC平行的直线与抛物线只有一个交点时OC边上的高h最大是解题的关键，也是本题的难点．

15、(2013浙江丽水压轴题)如图1，点A是x轴正半轴上的动点，点B坐标为（0，4），

M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B作y轴的垂线与直线CF相交于点E，点D点A关于直线CF的对称点，连结AC，BC，CD，设点A的横坐标为t （1）当t?2时，求CF的长；

（2）①当t为何值时，点C落在线段BD上？

②设△BCE的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

（3）如图2，当点C与点E重合时，△CDF沿x轴左右平移得到△C’D’F’，再将A，B，

C’，D’为顶点的四边形沿C’F’剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，请直接写出所有符合上述条件的点C’的坐标。

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