2013中考数学分类汇编：代数几何综合

2013中考全国100份试卷分类汇编

代数几何综合

1、（2013年潍坊市压轴题）如图，抛物线y?ax?bx?c关于直线x?1对称，与坐标轴交于A、B、C三点，且AB?4,点D?2，?在抛物线上，直线是一次函数

2??3?2?y?kx?2?k?0?的图象，点O是坐标原点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若直线平分四边形OBDC的面积，求k的值.

（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于M、N两点，问在y轴正半轴上是否存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

答案：（1）因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A(-1，0),B(3，0),

?a?b?c?0由点D(2，1.5)在抛物线上，所以?，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5,

4a?2b?c?1.5?又?b13?1，即b=-2a,代入上式解得a=-0.5,b=1,从而c=1.5,所以y??x2?x?. 2a22123x?x?，令x=0,得c(0,1.5),所以CD//AB, 2273令kx-2=1.5,得l与CD的交点F(,)，

2k22令kx-2=0，得l与x轴的交点E(,0)，

k（2）由（1）知y??根据S四边形OEFC=S四边形EBDF得：OE+CF=DF+BE,

272711??(3?)?(2?),解得k?, k2kk2k5131（3）由（1）知y??x2?x???(x?1)2?2,

222即：

所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为y??12x 2假设在y轴上存在一点P(0，t)，t＞0，使直线PM与PN关于y轴对称，过点M、N分别向y轴作垂线MM1、NN1，垂足分别为M1、N1，因为∠MPO=∠NPO,所以Rt△MPM1∽Rt△NPN1, 所以

MM1PM1?,………………(1) NN1PN1?xMt?yM?,又yM =k xM-2, yN=k xN-2, xNt?yN12x中，整理得x2+2kx-4=0, 2不妨设M(xM,yM)在点N(xN,yN)的左侧，因为P点在y轴正半轴上， 则（1）式变为

所以（t+2）(xM +xN)=2k xM xN,……(2) 把y=kx-2(k≠0)代入y??所以xM +xN=-2k, xM xN=-4,代入（2）得t=2,符合条件，

故在y轴上存在一点P（0,2），使直线PM与PN总是关于y轴对称.

考点：本题是一道与二次函数相关的压轴题，综合考查了考查了二次函数解析式的确定，函数图象交点及图形面积的求法，三角形的相似，函数图象的平移，一元二次方程的解法等知识，难度较大.

点评：本题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以及质点运动问题、分类讨论思想于一体的综合题，能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识，解决实际问题的能力。问题设计富有梯度、由易到难层层推进，既考查了知识掌握，也考查了方法的灵活应用和数学思想的形成。

2、（绵阳市2013年）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，-2），交x轴于A、B两点，其中A（-1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D。 （1）求二次函数的解析式和B的坐标； y （2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）； （3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不

A O C B D x l 存在，请说明理由。

b

解：（1）①二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点C的坐标为（0，-2），c = -2 , - = 0 , 2ab=0 ,

点A(-1,0)、点B是二次函数y=ax2-2 的图象与x轴的交点，a-2=0,a=2. 二次函数的解析式为y=2x2-2；

②点B与点A(-1,0)关于直线x=0对称，点B的坐标为（1，0）； （2）∠BOC=∠PDB=90o，点P在直线x=m上，

设点P的坐标为（m,p）, OB=1， OC=2， DB= m-1 , DP=|p| ，

OBDP1|p|m-11- m

①当△BOC∽△PDB时，= ,= ,p= 或p = ,

OCDB2m-122m-11- m

点P的坐标为（m， ）或（m， ）；

22②当△BOC∽△BDP时，

OBDB1m-1

= ，= ，p=2m-2或p=2-2m, OCDP2|p|

点P的坐标为（m，2m-2）或（m，2-2m）；

m-11- m

综上所述点P的坐标为（m， ）、（m， ）、（m，2m-2）或（m，2-2m）；

22（3）不存在满足条件的点Q。

点Q在第一象限内的抛物线y=2x2-2上，

令点Q的坐标为（x, 2x2-2），x>1, 过点Q作QE⊥直线l , 垂足为E，△BPQ为等腰直角三角形，PB=PQ，∠PEQ=∠PDB， ∠EPQ=∠DBP，△PEQ≌△BDP，QE=PD，PE=BD，

m-1

① 当P的坐标为（m， ）时，

2m-1

m-x = ， m=0 m=1 2m-11

2x2-2- = m-1, x= x=1 22与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件；

1- m

② 当P的坐标为（m， ）时，

2

m-12

x-m= m=- m=1 291- m52x2-2- = m-1, x=- x=1 26与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件；

③ 当P的坐标为（m，2m-2）时，

9

m-x =2m-2 m= m=1 25

2x2-2-(2m-2) = m-1, x=- x=1 2与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件； ④当P的坐标为（m，2-2m）时，

5

x- m = 2m-2 m= m=1 187

2x2-2-(2-2m) = m-1 x=- x=1 6

与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件； 综上所述，不存在满足条件的点Q。 3、（2013?昆明压轴题）如图，矩形OABC在平面直角坐标系

xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）求点D的坐标；

（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

考点： 二次函数综合题． 专题： 综合题． 分析： （1）由OA的长度确定出A的坐标，再利用对称性得到顶点坐标，设出抛物线的顶点形式y=a（x﹣2）+3，将A的坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式； （2）设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入求出k与b的值，确定出直线AC解析式，与抛物线解析式联立即可求出D的坐标； （3）存在，分两种情况考虑：如图所示，当四边形ADMN为平行四边形时，DM∥AN，DM=AN，由对称性得到M（3，），即DM=2，故AN=2，根据OA+AN求出ON的长，即可确定出N的坐标；当四边形ADM′N′为平行四边形，可得三角形ADQ全等于三角形N′M′P，M′P=DQ=，N′P=AQ=3，将y=﹣代入得：﹣=﹣x+3x，求出x的值，确定出OP的长，由OP+PN′求出ON′的长即可确定出N′坐标． 解答： 解：（1）设抛物线顶点为E，根据题意OA=4，OC=3，得：E（2，3）， 设抛物线解析式为y=a（x﹣2）+3， 将A（4，0）坐标代入得：0=4a+3，即a=﹣， 则抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）+3=﹣x+3x； （2）设直线AC解析式为y=kx+b（k≠0）， 将A（4，0）与C（0，3）代入得：， 22222解得：， 故直线AC解析式为y=﹣x+3， 与抛物线解析式联立得：， 解得：或， 则点D坐标为（1，）； （3）存在，分两种情况考虑： ①当点M在x轴上方时，如答图1所示：

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库2013中考数学分类汇编：代数几何综合在线全文阅读。