2013中考数学分类汇编：代数几何综合(4)

∴点F到AC的距离为又∵AC=9×4=3×=， =， ∴△ACE的最大面积=×3，此时E点坐标为（53，﹣）． 24 点评： 本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，联立两函数解析式求交点坐标，利用平行线确定点到直线的最大距离问题． 9、（2013凉山州压轴题）如图，抛物线y=ax﹣2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G． （1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；

（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．

2

考点：二次函数综合题．

分析：（1）将A（3，0），C（0，4）代入y=ax﹣2ax+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

2

（2）先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，进而根据抛物线和直线AC的解析式分别表示出点P、点M的坐标，即可得到PM的长； （3）由于∠PFC和∠AEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出△PCM的形状． 解答：解：（1）∵抛物线y=ax﹣2ax+c（a≠0）经过点A（3，0），点C（0，4）， ∴

，解得

2

2

，

∴抛物线的解析式为y=﹣x+x+4； （2）设直线AC的解析式为y=kx+b， ∵A（3，0），点C（0，4）， ∴

，解得

，

∴直线AC的解析式为y=﹣x+4． ∵点M的横坐标为m，点M在AC上， ∴M点的坐标为（m，﹣ m+4），

2

∵点P的横坐标为m，点P在抛物线y=﹣x+x+4上，

2

∴点P的坐标为（m，﹣ m+m+4），

22

∴PM=PE﹣ME=（﹣m+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣m+4m，

2

即PM=﹣m+4m（0＜m＜3）；

（3）在（2）的条件下，连结PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似．理由如下：由题意，可得AE=3﹣m，EM=﹣m+4，CF=m，PF=﹣m+m+4﹣4=﹣m+m． 若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似，分两种情况：①若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM，

2

即（﹣m+m）：（3﹣m）=m：（﹣ m+4）， ∵m≠0且m≠3， ∴m=

．

2

2

∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME， ∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF． 在直角△CMF中，∵∠CMF+∠MCF=90°， ∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°， ∴△PCM为直角三角形； ②若△CFP∽△AEM，则CF：AE=PF：EM，

2

即m：（3﹣m）=（﹣m+m）：（﹣m+4）， ∵m≠0且m≠3， ∴m=1． ∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME， ∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF． ∴CP=CM，

∴△PCM为等腰三角形．

综上所述，存在这样的点P使△PFC与△AEM相似．此时m的值为角形或等腰三角形．

或1，△PCM为直角三

点评：此题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定，难度适中．要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解． 10、（2013?曲靖压轴题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=﹣x+bx+c．点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E． （1）求抛物线的解析式．

（2）当DE=4时，求四边形CAEB的面积． （3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由．

2

考点： 二次函数综合题． 分析： （1）首先求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），根据已知条件求出点E坐标为（m，8+m）；由于点E在抛物线上，则可以列出方程求出m的值．在计算四边形CAEB面积时，利用S四边形CAEB=S△ACE+S梯形OCEB﹣S△BCO，可以简化计算； （3）由于△ACD为等腰直角三角形，而△DBE和△DAC相似，则△DBE必为等腰直角三角形．分两种情况讨论，要点是求出点E的坐标，由于点E在抛物线上，则可以由此列出方程求出未知数． 解答： 解：（1）在直线解析式y=x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=﹣4， ∴A（﹣4，0），B（0，4）． 2∵点A（﹣4，0），B（0，4）在抛物线y=﹣x+bx+c上， ∴， 解得：b=﹣3，c=4， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x﹣3x+4． （2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=﹣m，AC=4+m． ∵OA=OB=4，∴∠BAC=45°， ∴△ACD为等腰直角三角形，∴CD=AC=4+m， ∴CE=CD+DE=4+m+4=8+m， ∴点E坐标为（m，8+m）． 2∵点E在抛物线y=﹣x﹣3x+4上， 2∴8+m=﹣m﹣3m+4，解得m=﹣2． ∴C（﹣2，0），AC=OC=2，CE=6， S四边形CAEB=S△ACE+S梯形OCEB﹣S△BCO=×2×6+（6+4）×2﹣×2×4=12． （3）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=﹣m，CD=AC=4+m，BD=OC=﹣m，则D（m，4+m）． ∵△ACD为等腰直角三角形，△DBE和△DAC相似 ∴△DBE必为等腰直角三角形． i）若∠BED=90°，则BE=DE， ∵BE=OC=﹣m， ∴DE=BE=﹣m， ∴CE=4+m﹣m=4， ∴E（m，4）． 2∵点E在抛物线y=﹣x﹣3x+4上， 2∴4=﹣m﹣3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=﹣3， ∴D（﹣3，1）； ii）若∠EBD=90°，则BE=BD=﹣m， 在等腰直角三角形EBD中，DE=BD=﹣2m， ∴CE=4+m﹣2m=4﹣m， ∴E（m，4﹣m）． 2∵点E在抛物线y=﹣x﹣3x+4上， 2∴4﹣m=﹣m﹣3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=﹣2， ∴D（﹣2，2）． 综上所述，存在点D，使得△DBE和△DAC相似，点D的坐标为（﹣3，1）或（﹣2，2）． 点评： 本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、函数图象上点的坐标特征、待定系数2法、相似三角形、等腰直角三角形、图象面积计算等重要知识点．第（3）问需要分类讨论，这是本题的难点． 11、(2013年临沂压轴题)如图，抛物线经过A(?1,0),B(5,0),C(0,?)三点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；

(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由. y 52

O A B C x （第26题图）

解析：解：（1）设抛物线的解析式为 y?ax2?bx?c，

??a?b?c?0,? 根据题意，得?25a?5b?c?0,，

?5?c??.?2y N' A C M O P N B H x 1?a?,?2?解得?b??2,

?5?c??.2?∴抛物线的解析式为：y?M'

（第26题图）

125x?2x?. ………(3分) 22（2）由题意知，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B,连接BC交抛物线的对称轴于点

P，则P点 即为所求.

设直线BC的解析式为y?kx?b，

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