2013中考数学分类汇编：代数几何综合(3)

设直线BD的解析式为y＝kx＋b，则í∴直线BD的解析式为y=-ì1?b=4.解得，k=-，b=4.

2??8k+b=01x+4. 2113m+4），（m，m2-m-4） 242∵l⊥x轴，∴点M，Q的坐标分别是（m，-如图，当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形. ∴（-113m+4）-(m2-m-4)=4-(-4) 242化简得：m2-4m=0.解得，m1=0，（舍去）m2=4. ∴当m=4时，四边形CQMD是平行四边形. 此时，四边形CQBM是平行四边形. 解法一：∵m=4，∴点P是OB中点.∵l⊥x轴，∴l∥y轴. ∴△BPM∽△BOD.∴

BPBM1BM=DM. ==.∴

BOBD2∵四边形CQMD是平行四边形，∴DMCQ∴BMCQ.∴四边形CQBM为平行四边形.

ì1?b1=-4解法二：设直线BC的解析式为y=k1x+b1，则í.解得，k1=，b1=-4

2??8k1+b1=0∴直线BC的解析式为y=

1x-4 2又∵l⊥x轴交BC于点N.∴x=4时，y=-2. ∴点N的坐标为（4，-2）由上面可知，点M,Q的坐标分别为：（4，2），Q(4,-6). ∴MN=2-（-2）=4，NQ=-2-（-6）=4.∴MN=QN. 又∵四边形CQMD是平行四边形.∴DB∥CQ，∴∠3=∠4， 又∠1=∠2，∴△BMN≌△CQN.∴BN=CN. ∴四边形CQBM为平行四边形.

（3）抛物线上存在两个这样的点Q，分别是Q1（-2，0），Q2（6，-4）.

7、（2013?内江）如图，在等边△ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，

将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图形L． （1）求△ABC的面积；

（2）设AD=x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式； （3）已知图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求⊙O的面积．

考点： 相似形综合题． 分析： （1）作AH⊥BC于H，根据勾股定理就可以求出AH，由三角形的面积公式就可以求出其值； （2）如图1，当0＜x≤1.5时，由三角形的面积公式就可以表示出y与x之间的函数关系式，如图2，当1.5＜x＜3时，重叠部分的面积为梯形DMNE的面积，由梯形的面积公式就可以求出其关系式； （3）如图4，根据（2）的结论可以求出y的最大值从而求出x的值，作FO⊥DE于O，连接MO，ME，求得∠DME=90°，就可以求出⊙O的直径，由圆的面积公式就可以求出其值． 解答： 解：（1）如图3，作AH⊥BC于H， ∴∠AHB=90°． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC=3． ∵∠AHB=90°， ∴BH=BC= 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AH=． ∴S△ABC= （2）如图1，当0＜x≤1.5时，y=S△ADE． 作AG⊥DE于G， ∴∠AGD=90°，∠DAG=30°， ∴DG=x，AG=x， =； ∴y=∵a==x， 2＞0，开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大， ， ∴x=1.5时，y最大=如图2，当1.5＜x＜3时，作MG⊥DE于G， ∵AD=x， ∴BD=DM=3﹣x， ∴DG=（3﹣x），MF=MN=2x﹣3， ∴MG=（3﹣x）， ∴y==﹣； ， （3），如图4，∵y=﹣∴y=﹣y=﹣∵a=﹣（x﹣4x）﹣（x﹣2）+22； ， ， ＜0，开口向下， ， ∴x=2时，y最大=∵＞， ∴y最大时，x=2， ∴DE=2，BD=DM=1．作FO⊥DE于O，连接MO，ME． ∴DO=OE=1， ∴DM=DO． ∵∠MDO=60°， ∴△MDO是等边三角形， ∴∠DMO=∠DOM=60°，MO=DO=1． ∴MO=OE，∠MOE=120°， ∴∠OME=30°， ∴∠DME=90°， ∴DE是直径， S⊙O=π×1=π． 2 点评： 本题考查了等边三角形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用，勾股定理的运用，圆周角定理的运用，圆的面积公式的运用，等边三角形的性质的运用，二次函数的性质的运用，解答时灵活运用等边三角形的性质是关键． 8、（2013?新疆压轴题）如图，已知抛物线y=ax+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）． （1）求抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．

2

考点： 二次函数综合题． 专题： 代数几何综合题． 分析： （1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可； （2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC与对称轴的交点即为所求点D； （3）根据直线AC的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0时，△ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF，再根据直线l与x轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 2解答： 解：（1）∵抛物线y=ax+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3）， ∴，解得2， 所以，抛物线的解析式为y=x﹣4x+3； （2）∵点A、B关于对称轴对称， ∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小， 设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0）， 则， 解得， 所以，直线AC的解析式为y=x﹣1， 22∵y=x﹣4x+3=（x﹣2）﹣1， ∴抛物线的对称轴为直线x=2， 当x=2时，y=2﹣1=1， ∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小； （3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m， 联立，2 消掉y得，x﹣5x+3﹣m=0， 2△=（﹣5）﹣4×1×（3﹣m）=0， 即m=﹣此时x=时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大， 53，y=﹣， 2453∴点E的坐标为（，﹣）， 24设过点E的直线与x轴交点为F，则F（∴AF=﹣1=，0）， 9， 4∵直线AC的解析式为y=x﹣1， ∴∠CAB=45°，

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