2013中考数学分类汇编：代数几何综合(5)

1?k?,?5k?b?0,???2由题意，得?解得 ? 5b??.?b??5.??2??2∴直线BC的解析式为y?∵抛物线y?15x?. …………(6分) 22125x?2x?的对称轴是x?2， 22153∴当x?2时，y?x???.

2223∴点P的坐标是(2,?). …………(7分)

2（3）存在 ??????????(8分)

(i)当存在的点N在x轴的下方时，如图所示，∵四边形ACNM是平行四边形，∴CN∥x轴，∴点C与点N关于对称轴x=2对称，∵C点的坐标为(0,?)，∴点N的坐标为

525(4,?). ?????????(11分)

2（II）当存在的点N在x轴上方时，如图所示，作NH?x轴于点H，∵四边形ACMN是平行四边形，∴AC?M'N',?N'M'H??CAO, ∴Rt△CAO ≌Rt△NMH,∴NH?OC. ∵点C的坐标为(0,?),?NH?∴

'''''''52'55,即N点的纵坐标为， 221255x?2x??,即x2?4x?10?0 222解得x1?2?14,x2?2?14.

'∴点N的坐标为(2?14,)和(2?14,).

5252综上所述，满足题目条件的点N共有三个，

分别为(4,?).，(2?14,)，(2?14,) ?????????(13分)

525252

12、（2013?宁波压轴题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（﹣4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．

（1）求直线AB的函数解析式；

（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时． ①求证：∠BDE=∠ADP； ②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；

（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由． 考点： 一次函数综合题． 分析： （1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，把（4，0）代入即可； （2）①先证出△BOD≌△COD，得出∠BOD=∠CDO，再根据∠CDO=∠ADP，即可得出∠BDE=∠ADP， ②先连结PE，根据∠ADP=∠DEP+∠DPE，∠BDE=∠ABD+∠OAB，∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，得出∠DPE=∠OAB，再证出∠DFE=∠DPE=45°，最后根据∠DEF=90°，得出△DEF是等腰直角三角形，从而求出DF=DE，即y=x； （3）当===2时，过点F作FH⊥OB于点H，则∠DBO=∠BFH，再证出△BOD∽△FHB，=2，得出FH=2，OD=2BH，再根据∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，得出四边形OEFH是矩形，OE=FH=2，EF=OH=4﹣OD，根据DE=EF，求出OD的长，从而得出直线CD的解析式为y=x+，最后根据求出点P的坐标即可； 当=时，连结EB，先证出△DEF是等腰直角三角形，过点F作FG⊥OB于点G，同===，得出FG=8，OD=BG，再证出四边形OEFG是矩理可得△BOD∽△FGB，形，求出OD的值，再求出直线CD的解析式，最后根据的坐标． 解答： 解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4， 代入（4，0）得：4k+4=0， 解得：k=﹣1， 则直线AB的函数解析式为y=﹣x+4； （2）①由已知得： 即可求出点POB=OC，∠BOD=∠COD=90°， 又∵OD=OD， ∴△BOD≌△COD， ∴∠BOD=∠CDO， ∵∠CDO=∠ADP， ∴∠BDE=∠ADP， ②连结PE， ∵∠ADP是△DPE的一个外角， ∴∠ADP=∠DEP+∠DPE， ∵∠BDE是△ABD的一个外角， ∴∠BDE=∠ABD+∠OAB， ∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD， ∴∠DPE=∠OAB， ∵OA=OB=4，∠AOB=90°， ∴∠OAB=45°， ∴∠DPE=45°， ∴∠DFE=∠DPE=45°， ∵DF是⊙Q的直径， ∴∠DEF=90°， ∴△DEF是等腰直角三角形， ∴DF=DE，即y=x； （3）当BD：BF=2：1时， 过点F作FH⊥OB于点H， ∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°， ∴∠DBO=∠BFH， 又∵∠DOB=∠BHF=90°， ∴△BOD∽△FHB， ∴===2， ∴FH=2，OD=2BH， ∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°， ∴四边形OEFH是矩形， ∴OE=FH=2， ∴EF=OH=4﹣OD， ∵DE=EF， ∴2+OD=4﹣OD， 解得：OD=， ∴点D的坐标为（0，）， ∴直线CD的解析式为y=x+， 由得：， 则点P的坐标为（2，2）； 当=时， 连结EB，同（2）①可得：∠ADB=∠EDP， 而∠ADB=∠DEB+∠DBE，∠EDP=∠DAP+∠DPA， ∵∠DEP=∠DPA， ∴∠DBE=∠DAP=45°， ∴△DEF是等腰直角三角形， 过点F作FG⊥OB于点G， 同理可得：△BOD∽△FGB， ∴===， ∴FG=8，OD=BG， ∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°， ∴四边形OEFG是矩形， ∴OE=FG=8， ∴EF=OG=4+2OD， ∵DE=EF， ∴8﹣OD=4+2OD， OD=43， ∴点D的坐标为（0，﹣43）， 直线CD的解析式为：y=﹣13x﹣43， 由得：， ∴点P的坐标为（8，﹣4）， 综上所述，点P的坐标为（2，2）或（8，﹣ 4）． 点评： 此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是一次函数、矩形的性质、圆的性质，关键是综合运用有关知识作出辅助线，列出方程组．

13、（2013四川南充压轴题，21，8分）如图，二次函数y=x2+bx－3b+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，且经过点（b－2，2b2－5b－1）. （1）求这条抛物线的解析式；

（2）⊙M过A、B、C三点，交y轴于另一点D，求点M的坐标；

（3）连接AM、DM，将∠AMD绕点M顺时针旋转，两边MA、MD与x轴、y轴分别交于点E、F，若△DMF为等腰三角形，求点E的坐标.

解析：（1）把点（b－2，2b2－5b－1）代入解析式，得

2b2－5b－1=（b－2）2+b（b－2）－3b+3， ?????1′ 解得b=2.

∴抛物线的解析式为y=x2+2x－3. ?????2′ （2）由x2+2x－3=0，得x=－3或x=1.

∴A（－3，0）、B（1，0）、C（0，－3）.

抛物线的对称轴是直线x=－1，圆心M在直线x=－1上. ?????3′

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