高中数学圆锥曲线方程试卷5(考点详解版)(7)

【点评】本题考查椭圆的简单性质，余弦定理的应用，考查计算能力．

20．（2012秋?聊城校级期末）已知椭圆

（a＞b＞0），A、B是椭圆上的两点，线

段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）．证明

．

【分析】设A、B的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2）．因线段AB的垂直平分线与x轴相交，故AB不平行于y轴，即x1≠x2．又交点为P（x0，0），故|PA|=|PB|．把点P坐标代入，同时把A、B代入椭圆方程，最后联立方程即可得到x0关于x1和x2的关系式，最后根据x1和x2的范围确定x0的范围．

【解答】证明：设A、B的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2）．因线段AB的垂直平分线与x轴相交，故AB不平行于y轴，即x1≠x2．又交点为P（x0，0），故|PA|=|PB|，即

2222

（x1﹣x0）+y1=（x2﹣x0）+y2① ∵A、B在椭圆上， ∴

，

．

将上式代入①，得 2（x2﹣x1）x0=

②

∵x1≠x2，可得

∵﹣a≤x1≤a，﹣a≤x2≤a，且x1≠x2， ∴﹣2a＜x1+x2＜2a， ∴

．

．③

【点评】本小题考查椭圆性质、直线方程等知识，以及综合分析能力．

21．（2015秋?太原校级期末）已知双曲线E：

﹣

=1 （a＞0，b＞0），其中斜率为

的

直线与其一条渐近线平行． （1）求双曲线的离心率；

（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A、B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足

=λ

+

，求λ的值．

a，由a，b，c的关系和离心率

【分析】（1）求出双曲线的渐近线方程，由题意可得b=公式，计算即可得到所求值；

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（2）根据过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线，写出直线的方程，联立直线与双曲线的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理，及A，B，C为双曲线上的点，注意整体代换，并代足

=λ

+﹣

，即可求得λ的值．

=1的渐近线方程为y=±x，

【解答】解：（1）双曲线E：

由斜率为=c=可得e==

的直线与其一条渐近线平行，可得

a， a， ；

2

2

2

，即b=

=

（2）由（1）可得双曲线的方程为x﹣5y=5b， 联立

，得4x﹣10cx+35b=0，

2

2

设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1+x2=c，x1?x2=设即

=（x3，y3），

=λ，

2

2

2

， +

，

又C为双曲线上一点，即x3﹣5y3=5b，

222

有（λx1+x2）﹣5（λy1+y2）=5b，

222222

化简得：λ（x1﹣5y1）+（x2﹣5y2）+2λ（x1x2﹣5y1y2）=5b， 又A（x1，y1），B（x2，y2）在双曲线上，

222222

所以x1﹣5y1=5b，x2﹣5y2=5b， 而x1x2﹣5y1y2=x1x2﹣5（x1﹣c）（x2﹣c） =﹣4x1x2+5c（x1+x2）﹣5c=﹣4?=

2

2

+5c?

2

﹣5c

2

﹣35b=

2

?6b﹣35b=10b，

22

得λ+4λ=0， 解得λ=0或﹣4．

【点评】此题是个难题．本题考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题（2）考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．

第32页（共47页）

22．（2015秋?东莞市期末）已知双曲线E：的中心为原点O，

左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，且过点M（5，），又P点是直线x=点，点Q在双曲线E上，且满足

=0．

上任意一

（1）求双曲线的方程；

（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；

（3）若点P的纵坐标为1，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同的两点M、N，在线段MN上取异于点M、N的点H，满足

，证明点H恒在一条定直线上．

【分析】（1）由离心率公式和点满足双曲线的方程，结合双曲线的a，b，c的关系，即可求得a，b，进而得到双曲线的方程； （2）设出P（

，t），Q（x0，y0），代入双曲线的方程，再由

=0，得到方程，

再由直线的斜率公式，得到直线PQ与直线OQ的斜率之积，化简整理，运用代入，即可得到定值

；

，1）的直线l与双曲线E的右支交于不同两点M（x1，

2

2

2

（3）设点H（x，y），且过点（

2

2

y1），N（x2，y2），则9x1﹣16y1=144，9x2﹣16y2=144，即y1=﹣16），设上．

【解答】解：（1）双曲线E：

﹣

=1（a＞0），c=a+b，

2

2

2

（x1﹣16），y2=

22

（x2

2

==λ，求出坐标之间的关系，化简可得点H恒在定直线9x﹣5y﹣45=0

由于离心率为，即e==，

即有=，

M（5，）代入双曲线的方程可得解得a=4，b=3，c=5， 即有双曲线的方程为

﹣

=1；

﹣=1，

（2）证明：由于点P是直线x=可设P（

，t），

=上任意一点，

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再由Q为双曲线﹣

=1一点，可设Q（x0，y0），

则﹣

=1，即y0=

2

（x0﹣16）．

2

由F2（5，0）， 则

?

=（5﹣

，﹣t）?（5﹣x0，﹣y0）=0，

即有9﹣x0+ty0=0，即有ty0=﹣9+x0，

则kPQ?kOQ=

?=

==，

则直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值（3）证明：设点H（x，y）， 且过点P（

2

；

，1）的直线l与双曲线E的右支交于不同两点M（x1，y1），N（x2，y2），

2

2

2

则9x1﹣16y1=144，9x2﹣16y2=144， 即y1=设

=

2

（x1﹣16），y2=

=λ，

22

（x2﹣16），⑥⑦

2

则．

即，

整理，得

第34页（共47页）

由①×③，②×④得，

将y1=

2

（x1﹣16），y2=

22

（x2﹣16），代入⑥，

2

得y=×﹣9 ⑦

将⑤代入⑦，得y=x﹣9．

所以点H恒在定直线9x﹣5y﹣45=0上．

【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查平面向量的数量积的坐标公式，考查直线的斜率公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于难题．

23．（2015秋?丹阳市期中）椭圆

2

2

=1（a＞b＞0）的离心率为，左焦点F到右准线l

的距离为10，圆G：（x﹣1）+y=1． （1）求椭圆的方程；

（2）若P是椭圆上任意一点，过点P作圆G的切线，切点为Q，过点P作右准线l的垂线，垂足为H，求

的取值范围；

（3）是否存在以椭圆上的点M为圆心的圆M，使得过圆M上任意一点N作圆G的切线（切点为T）都满足

？若存在，请求出圆M的方程；若不存在，请说明理

由．

【分析】（1）由题意可得，解方程组得到a，c的值，结合隐含条件求得b，则

椭圆方程可求；

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