高中数学圆锥曲线方程试卷5(考点详解版)(5)

11．（2013秋?雁峰区校级期中）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=

．求椭圆的方程．

【分析】先设椭圆方程的标准形式，然后与直线方程联立消去y，得到两根之和、两根之积的关系式，再由OP⊥OQ，|PQ|=

可得到两点坐标的关系式，然后再与两根之和、两根

之积的关系式联立可求a，b的值，从而可确定椭圆方程． 【解答】解：设所求椭圆方程为依题意知，点P、Q的坐标满足方程组

①②

将②式代入①式，整理得 222222

（a+b）x+2ax+a（1﹣b）=0，③

设方程③的两个根分别为x1，x2，那么直线y=x+1与椭圆的交点为P（x1，x1+1），Q（x2，x2+1）． 由题设OP⊥OQ，|PQ|=

，可得

整理得 ④⑤

解这个方程组，得或

根据根与系数的关系，由③式得

（Ⅰ）或（Ⅱ）

解方程组（Ⅰ），（Ⅱ），得或

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故所求椭圆的方程为，或

【点评】本题主要考查直线与椭圆的综合题．直线与圆锥曲线的综合题一般是将两方程联立消去x或y得到一元二次方程，然后表示出两根之和、两根之积，再由题中条件可解题． 12．（2013?南开区一模）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=x的焦点，离心率等于（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若=λ2

，求证：λ1+λ2为定值．

的焦点，离心率等于

．易求=λ1

，

2

．

【分析】（1）根据椭圆C的一个顶点恰好是抛物线

出a，b的值，得到椭圆C的方程．

（2）设A、B、M点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x﹣2），然后采用“联立方程”+“设而不求”+“韦达定理”，结合已知中

，

，求出λ1+λ2值，即可得到结论．

【解答】解：（1）设椭圆C的方程为，则由题意知b=1．…（2分）

∴．∴a=5．…（4分）

2

∴椭圆C的方程为 ．…（5分）

（2）设A、B、M点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0）． 又易知F点的坐标为（2，0）．…（6分）

显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x﹣2）．…（7分）

2222

将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得（1+5k）x﹣20kx+20k﹣5=0．…（8分）∴

．…（9分）

又∵．（11

分）∴．…（12分）

【点评】本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，其中根据已知条件计算出椭圆的标准方程是解答本题的关键．

第22页（共47页）

13．（2013?南开区二模）已知椭圆

的离心率为

．

（I）若原点到直线x+y﹣b=0的距离为，求椭圆的方程；

（II）设过椭圆的右焦点且倾斜角为45°的直线l和椭圆交于A，B两点． （i）当，求b的值； （ii）对于椭圆上任一点M，若

2

2

，求实数λ，μ满足的关系式．

【分析】（I）由题意知b=2，a=12，b=4．由此可知椭圆的方程为（II）（i）由题意知椭圆的方程可化为：x+3y=3b，AB：

．设A（x1，y1），B（x2，y2），

2

2

2

． ，所以

，所以b=1． （II）（ii）显然内的向量

与

可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面

成立．同上经可知λ+μ=1．

，∴

∵a﹣b=c，∴

2

2

2

2

2

，有且只有一对实数λ，μ，使得等

，∴b=2∵

【解答】解：（I）∵解得a=12，b=4． 椭圆的方程为

2

2

．（4分）

2

2

2

（II）（i）∵易知右焦点由①，②有：

，∴

，据题意有AB：

③

．椭圆的方程可化为：x+3y=3b①

②

设A（x1，y1），B（x2，y2），

∴b=1（8分） （II）（ii）显然内的向量

与

可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面

成立．

，有且只有一对实数λ，μ，使得等

第23页（共47页）

设M（x，y），∵（x，y）=λ（x1，y1）+μ（x2，y2），∴x=λx1+μx2，y=λy1+μy2，

222

又点M在椭圆上，∴（λx1+μx2）+3（λy1+μy2）=3b④ 由③有：则

3b﹣9b+6b=0⑤

222222

又A，B在椭圆上，故有x1+3y1=3b，x2+3y2=3b⑥

22

将⑥，⑤代入④可得：λ+μ=1．（14分）

【点评】本题考查圆锥曲线的位置关系和综合应用，解题时要认真审题，仔细解答．

14．（2013?和平区校级模拟）直线

称为椭圆

的“特征

2

2

2

直线”，若椭圆的离心率．

（Ⅰ）求椭圆的“特征直线”方程；

222

（Ⅱ）过椭圆C上一点M（x0，y0）（x0≠0）作圆x+y=b的切线，切点为P、Q，直线PQ与椭圆的“特征直线”相交于点E、F，O为坐标原点，若

，求椭圆C的方程．

【分析】（Ⅰ） 由离心率的值求得

，即得特征直线

的方程．

取值范围恰为

（Ⅱ） 用点斜式求出直线PQ的方程，与圆的方程联立求得E的纵坐标y1 ，同理求得F

22

的纵坐标y2，再根据点M满足的条件及两个向量的数量积公式求得，由0＜x0≤4b 进一步化简得，程．

【解答】解：（Ⅰ）设c=a﹣b（c＞0），则由

2

2

2

，或 ，结合条件有 b=1，从而得到 椭圆C的方

2

，得 ，

∴，椭圆的“特征直线”方程为：x±2y=0．

2

2

2

（Ⅱ）根据P、Q是以MO为直径的圆和圆x+y=b的交点，把两圆的方程相减可得

2

直线PQ的方程，并化为一般式为 x0x+y0y=b，设E（x1，y1），F（x2，y2）， 联立

，解得

． 同理可求

，

，∵M（x0，y0）是椭圆上的点，

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∴，从而 ，

∵0＜x0≤4b，∴

由条件得 b=1，故椭圆C的方程为

2

22

，∴．

，或 ，

【点评】本题考查椭圆的简单性质，两个向量的数量积公式，以及不等式的性质的应用．

15．（2013?孝感校级模拟）已知椭圆C：心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+A、B两点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）求

?

取值范围；

=1，（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆=0）且不垂直于x轴直线l椭圆C相交于

（Ⅲ）若B关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点． 【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率得到a，b的关系式

，由原点到直线x﹣y+

=0的

距离求得b，则a可求，椭圆方程可求；

（Ⅱ）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣4），联立直线方程与椭圆方程，由△＞0得k的范围，利用根与系数的关系得到A，B两点的横坐标的和与积，代入?

，结合k的范围可得

?

取值范围；

（Ⅲ）由B、E两点关于x轴对称，得到E（x2，﹣y2），写出直线AE的方程，求出直线在x轴上的截距x=1，则可说明直线AE与x轴交于定点（1，0）． 【解答】（Ⅰ）解：由题意知

2

2

，∴，即，

又，∴a=4，b=3，

故椭圆的方程为；

（Ⅱ）解：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣4），

2

2

2

2

由得：（4k+3）x﹣32kx+64k﹣12=0．

由△=（﹣32k）﹣4（4k+3）（64k﹣12）＞0得：

2222

．

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