高中数学圆锥曲线方程试卷5(考点详解版)(6)

设A（x1，y1），B （x2，y2），则∴y1y2=k（x1﹣4）k（x2﹣4）=

， ①

，

∴∵∴

，∴的取值范围是

，则

．

，

；

（Ⅲ）证明：∵B、E两点关于x轴对称，∴E（x2，﹣y2）， 直线AE的方程

又y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4）， ∴

，

，令y=0，得

，

将①代入上式并整理得：x=1， ∴直线AE与x轴交于定点（1，0）．

【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查了椭圆的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常采用把直线方程和圆锥曲线方程联立，利用根与系数的关系求解，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是压轴题．

16．（2013?杭州模拟）已知抛物线C：y=2px（p＞0），F为抛物线C的焦点，A为抛物线C上的动点，过A作抛物线准线l的垂线，垂足为Q．

（1）若点P（0，2）与点F的连线恰好过点A，且∠PQF=90°，求抛物线方程； （2）设点M（m，0）在x轴上，若要使∠MAF总为锐角，求m的取值范围． 【分析】（1）先由题意知：|AQ|=|AF，再依据A为PF的中点且点A在抛物线上，求得p值，从而得出抛物线方程；

（2）设A（x，y），y=2px，根据题意：∠MAF为锐角根据向量的数量积得出：对x≥0都成立，令

性质分类讨论，即可求得m的取值范围即可． 【解答】解：（1）由题意知：|AQ|=|AF|， ∵∠PQF=90°，∴A为PF的中点， ∵

且点A在抛物线上，代入得所以抛物线方程为

2

2

＞0对x≥0都成立，下面结合二次函数的

， ?

．…（5分）

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（2）设A（x，y），y=2px， 根据题意：∠MAF为锐角

且

， ，

，

∵y=2px，所以得令

对x≥0都成立…（9分） ①若整理得：所以②若所以

．…（11分） ，即…（13分）

且

．…（15分）

，只要使

成立，得m＞0

，即

时，只要使

，且

，

成立，

2

2

对x≥0都成立

由①②得m的取值范围是

【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程、抛物线的简单性质，同时考查了向量的数量积，考查了计算能力．

17．（2013春?开阳县校级月考）直线l：y=ax+1与双曲线C：3x﹣y=1相交于A，B两点． （1）a为何值时，以AB为直径的圆过原点；

（2）是否存在这样的实数a，使A，B关于直线x﹣2y=0对称，若存在，求a的值，若不存在，说明理由． 【分析】（1）把直线l的方程与双曲线的方程联立消去y，根据判别式大于0求得a的范围，根据OA⊥OB，推断出y1y2=﹣x1x2．根据韦达定理表示出x1x2．进而根据直线方程表示出y1y2，代入y1y2=﹣x1x2．求得a．

（2）假设这样的点A，B存在，进而可知直线l的斜率，把AB的中点代入直线y=x中求得y1+y2和x1+x2的关系，进而根据（1）中的韦达定理表示出x1+x2，联立方程求得a，看结果是否与a=﹣2矛盾即可．

2222

【解答】解：（1）联立方程ax+1=y与3x﹣y=1，消去y得：（3﹣a）x﹣2ax﹣2=0（*） 又直线与双曲线相交于A，B两点，3﹣a≠0，所以a≠±，∴又依题OA⊥OB，令A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则y1y2=﹣x1x2．

2

2

2

．

第27页（共47页）

且y1y2=（ax1+1）（ax2+1）=ax1x2+a（x1+x2）+1=﹣x1x2?x1x2（1+a）+a（x1+x2）+1=0，而由方程（*）知：

，

代入上式得

22

．满足条件．

（2）假设这样的点A，B存在，则l：y=ax+1斜率a=﹣2．又AB中点在

上，则

，

，

又y1+y2=a（x1+x2）+2， 代入上式知

这与a=﹣2矛盾．

故这样的实数a不存在．

【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与双曲线的位置关系．考查了学生综合分析问题和推理的能力，基本的运算能力．

18．（2013秋?中山市校级月考）已知椭圆C：

，F1，F2是其左右

焦点，离心率为，且经过点（3，1）

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若A1，A2分别是椭圆长轴的左右端点，Q为椭圆上动点，设直线A1Q斜率为k，且

，求直线A2Q斜率的取值范围；

（3）若Q为椭圆上动点，求cos∠F1QF2的最小值． 【分析】（1）根据椭圆的离心率为

，且经过点（3，1），求椭圆C的标准方程；

（2）设A2Q的斜率为k'，Q（x0，y0），则可得kk'=

=，利用，

即可求直线A2Q斜率的取值范围；

（3）利用椭圆的定义、余弦定理，及基本不等式，即可求cos∠F1QF2的最小值． 【解答】解：（1）∵椭圆的离心率为

，且经过点（3，1），建立方程，求出几何量，即可

第28页（共47页）

∴，

∴椭圆C的标准方程为…（3分）

（2）设A2Q的斜率为k'，Q（x0，y0），则

，…（5分）

∴kk'=及…（6分）

则kk'==

又…（7分）

∴

，

故A2Q斜率的取值范围为（

） …（8分）

（3）设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为a，b，c，则有

由椭圆定义，有

…（9分）

∴cos∠F1QF2=

…（10分）

=…（11分）

≥…（12分）

==…（13分）

第29页（共47页）

，

∴cos∠F1QF2的最小值为．（当且仅当|QF1|=|QF2|时，即Q取椭圆上下顶点时，

cos∠F1QF2取得最小值）

…（14分）

【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查椭圆的定义，考查余弦定理，考查基本不等式的运用，综合性强．

19．（2012?安徽）如图，F1、F2分别是椭圆C：

（a＞b＞0）的左、右焦点，A

是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2=60°． （Ⅰ）求椭圆C的离心率； （Ⅱ）已知△AF1B的面积为40

，求a，b 的值．

【分析】（Ⅰ）直接利用∠F1AF2=60°，求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）设|BF2|=m，则|BF1|=2a﹣m，利用余弦定理以及已知△AF1B的面积为40a，b 的值．

【解答】解：（Ⅰ）∠F1AF2=60°?a=2c?e==．

（Ⅱ）设|BF2|=m，则|BF1|=2a﹣m，

222

在三角形BF1F2中，|BF1|=|BF2|+|F1F2|﹣2|BF2||F1F2|cos120° ?（2a﹣m）=m+a+am．?m=△AF1B面积S=|BA||F1A|sin60° ?

?a=10， ∴c=5，b=5

=40

2

2

2

，直接求

．

．

第30页（共47页）

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