高中数学圆锥曲线方程试卷5(考点详解版)(3)

（Ⅱ） 设直线l的方程为 y﹣0=k（x﹣1），即 y=kx﹣k． 代入椭圆的方程化简可得（1+4k）x﹣8kx+4k﹣4=0， ∴x1+x2=

，x1?x2=

．

2

2

2

2

∵

2

2

=（m﹣x1，﹣y1 ）?（m﹣x2，﹣y2）=（m﹣x1）（m﹣x2）+y1y2

2

2

=（m+k）+（1+k）x1?x2﹣（m+k）（x1+x2） =（m+k）+（1+k）

2

2

2

﹣（m+k）（

2

）

= 恒为定值，

∴，

∴m=．

【点评】本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，一元二次方程根与系数的关系，由

恒为定值，得到

4．（2012?湛江模拟）已知抛物线y=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、

且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5．过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M． （1）求抛物线方程；

（2）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；

（3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当K（m，0）是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系．

2

，是解题的关键和难点．

【分析】（Ⅰ）抛物线的准线为 （Ⅱ）由题意得B，M的坐标，由此可知点N的坐标即可；

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，于是 ，

，p=2，由此可知抛物线方程为y=4x． ，直线FA的方程，直线MN的方程，

2

（Ⅲ）由题意得，圆M的圆心坐标为（0，2），半径为2．当m=4时，直线AP的方程为x=4，此时，直线AP与圆M相离；当m≠4时，写出直线AP的方程，圆心M（0，2）到直线AP的距离，由此可判断直线AP与圆M的位置关系． 【解答】解：（1）抛物线

2

，∴p=2．

∴抛物线方程为y=4x．

（2）∵点A的坐标是（4，4），由题意得B（0，4），M（0，2）， 又∵F（1，0），∴

，∴

，

．*k*s*5*u

则FA的方程为y=（x﹣1），MN的方程为

解方程组，∴．

（3）由题意得，圆M的圆心是点（0，2），半径为2．

当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时，直线AK与圆M相离， 当m≠4时，直线AK的方程为

，即为4x﹣（4﹣m）y﹣4m=0，

圆心M（0，2）到直线AK的距离，令d＞2，解得m＞1∴当m＞1时，

直线AK与圆M相离；

当m=1时，直线AK与圆M相切； 当m＜1时，直线AK与圆M相交．

【点评】本题考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质、直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．

5．（2012?浙江模拟）已知抛物线C：y=2px（p＞0），F为抛物线C的焦点，A为抛物线C上的动点，过A作抛物线准线l的垂线，垂足为Q．

（1）若点P（0，4）与点F的连线恰好过点A，且∠PQF=90°，求抛物线方程； （2）设点M（m，0）在x轴上，若要使∠MAF总为锐角，求m的取值范围． 【分析】（1）先由题意知：|AQ|=|AF，再依据A为PF的中点且点A在抛物线上，求得p值，从而得出抛物线方程；

2

（2）设A（x，y），y=2px，根据题意：∠MAF为锐角根据向量的数量积得出：

对x≥0都成立

令

立，下面分类讨论：（i）若

，（ii）若

对x≥0都成

，求得m的取值范围即可．

2

【解答】解：（1）由题意知：|AQ|=|AF|，∵∠PQF=90°， ∴A为PF的中点，∵

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，

且点A在抛物线上，代入得所以抛物线方程为

2

?

．（5分）

（2）设A（x，y），y=2px， 根据题意：∠MAF为锐角

且

，

∵y=2px，所以得令

对x≥0都成立（9分） （i）若整理得：所以（ii）若所以

．（11分） ，即（13分）

且

．（15分）

，只要使

成立，得m＞0

，即

时，只要使

，且

，

成立，

2

对x≥0都成立

由（i）（ii）得m的取值范围是

【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程、抛物线的简单性质，同时考查了向量的数量积，

考查了计算能力． 6．（2012?宣威市校级模拟）线段AB过x轴正半轴上一定点M（m，0），两端点A、B到x轴的距离之积为2m，O为坐标原点，以x轴为对称轴，经过A、O、B三点作抛物线． （1）求这条抛物线方程； （2）若

，求m的最大值．

【分析】（1）设抛物线方程、直线AB的方程，联立这两个方程组消去x，利用两端点A、B到x轴的距离之积为2m，可求m的值，从而可得抛物线方程；

（2）利用tan（∠AOM+∠BOM）=﹣1，结合韦达定理，确定k、m的关系式，从而可得不等式，由此可求m的最大值．

2

【解答】解：（1）可设抛物线方程为y=2px（p＞0）， 设直线AB的方程为y=k（x﹣m）（k≠0）…（2分） 联立这两个方程组消去x得，ky﹣2py﹣2pkm=0，…（4分） 设A（x1，y1），B（x2，y2），由已知得|y1|?|y2|=2m，注意到y1?y2＜0，所以y1?y2=﹣2m，

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2

又y1?y2=﹣2pm，所以﹣2m=﹣2pm，因为m＞0，所以p=1．

2

所以抛物线方程为y=2x；…（6分） （2）因为

，所以tan∠AOB=﹣1，即tan（∠AOM+∠BOM）=﹣1

又，，

所以，

整理得y1y2+4=2（y1﹣y2）．…（8分） 因为y1y2=﹣2m，所以y1﹣y2=2﹣m＞0，从而即

，

因此m﹣12m+4＞0，…（10分）

22

又当AB⊥x轴时，y1+y2=0，所以8m=（2﹣m），即m﹣12m+4=0，

于是m﹣12m+4≥0，且0＜m＜2，解之不等式组得到． 故m的最大值是．…（12分） 【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查解不等式，属于中档题．

7．（2011?重庆）如图，椭圆的中心为原点O，离心率e=（Ⅰ）求该椭圆的标准方程． （Ⅱ）设动点P满足积为﹣．

问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值．若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由．

，其中M，N是椭圆上的点．直线OM与ON的斜率之

，一条准线的方程为x=2

．

22

， ，即

，所以

【分析】（Ⅰ）根据离心率和准线方程求得a和c，则b可得，则椭圆的方程可得．

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（Ⅱ）设出P，M，N的坐标，根据题设等式建立等式，把M，N代入椭圆方程，整理求得x+2y20+4（x1x2+2y1y2），设出直线OM，ON的斜率，利用题意可求得x1x2+2y1y2=0，进

22

而求得x+2y的值，利用椭圆的定义可推断出|PF1|+|PF2|为定值求得c，则两焦点坐标可得． 【解答】解：（Ⅰ）由e==∴b=

=

，

=2

，求得a=2，c=

2

2

∴椭圆的方程为：

（Ⅱ）设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2）， 则由

，得（x，y）=（x1，y1）+2（x2，y2），

即x=x1+2x2，y=y1+2y2， ∵点M，N在椭圆上，所以

，

2

2

2

2

2

2

故x+2y=（x1+4x2+4x1x2）+2（y1+4y2+4y1y2）=20+4（x1x2+2y1y2） 设k0M，kON分别为直线OM，ON的斜率，根据题意可知k0MkON=﹣ ∴x1x2+2y1y2=0 22

∴x+2y=20 所以P在椭圆

上；

，

设该椭圆的左，右焦点为F1，F2，由椭圆的定义可推断出|PF1|+|PF2|为定值，因为c=则这两个焦点坐标是（﹣，0）（，0）

【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生分析问题和解决问题的能力．

8．（2011春?凤凰县校级期末）已知椭圆

的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线

交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P （Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．

；

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