【分析】（Ⅰ）椭圆的半焦距
，由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，
故x0+y0=1，由此可以证出
22
．
（Ⅱ）设BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程﹣6=0．设B（x1，y1），D（x2，y2），由题意知|BD|=
，并化简得（3k+2）x+6kx+3k
2222
再求出|AC|=，由此可以求出四边形ABCD的面积的最小
值．
【解答】证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距
，
2
2
由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x0+y0=1， 所以，
．
（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k≠0时，BD的方程为y=k（x+1）， 代入椭圆方程
，并化简得（3k+2）x+6kx+3k﹣6=0．
2
2
2
2
设B（x1，y1），D（x2，y2），则
，
|BD|=；
因为AC与BD相交于点P，且AC的斜率为，
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所以，|AC|=．
四边形ABCD的面积
?|BD||AC|=
．
当k=1时，上式取等号．
（ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4． 综上，四边形ABCD的面积的最小值为
．
2
【点评】本题综合考查椭圆的性质信其应用，难度较大，解题时要认真审题，仔细计算，注意公式的灵活运用，避免出现不应有的错误．
9．（2011?咸阳三模）已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率物线
的焦点重合．
，且其中一个焦点与抛
（1）求椭圆C的方程； （2）过点S（
，0）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在
一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先设处椭圆的标准方程，根据离心率求的a和c的关系，进而根据抛物线的焦点求得c，进而求得a，则b可得，进而求的椭圆的标准方程．
22
（2）若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x+y=1，若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是（x+）+y=
2
2
．联立两个圆的方程求得其交点的坐标，推断两圆相切，
进而可判断因此所求的点T如果存在，只能是这个切点．证明时先看直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（1，0）．再看直线l不垂直于x轴，可设出直线方程，与圆方程联立消去y，记点A（x1，y1），B（x2，y2），根据伟大定理求得x1+x2和x1x2的表达式，代入?0）．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为
，离心率
，
，抛物
的表达式中，求得
?
=0，进而推断TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（1，
线的焦点为（0，1），所以，椭圆C的方程是x+
2
=1
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（Ⅱ）若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x+y=1，若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是（x+）+y=
2
2
22
．
由解得即两圆相切于点（1，0）．
因此所求的点T如果存在，只能是（1，0）．
事实上，点T（1，0）就是所求的点．证明如下：
当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（1，0）． 若直线l不垂直于x轴，可设直线l：y=k（x+）．
由即（k+2）x+kx+k﹣2=0．
2222
记点A（x1，y1），B（x2，y2），则
又因为
=（x1﹣1，y1），
2
=（x2﹣1，y2），
?
=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=（x1﹣1）
（x2﹣1）+k（x1+）（x2+）
=（k+1）x1x2+（k﹣1）（x1+x2）+k+1
2
2
2
=（k+1）
2
+（k﹣1）
2
++1=0，
所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（1，0）． 所以在坐标平面上存在一个定点T（1，0）满足条件 【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程和直线与椭圆的综合问题．考查了学生分析问题和解决问题的能力．
10．（2011?沅江市模拟）如图，设抛物线c1：y=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F1，焦点为F2，以F1、F2为焦点，离心率e=的椭圆c2与抛物线c1在x轴上方的一个交点为P． （1）当m=1时，求椭圆的方程；
（2）在（1）的条件下，直线l经过椭圆c2的右焦点F2，与抛物线c1交于A1、A2，如果以线段A1A2为直径作圆，试判断点P与圆的位置关系，并说明理由；
2
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（3）是否存在实数m，使得△PF1F2的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m；若不存在，请说明理由．
【分析】由题设条件设椭圆方程为
．
（1）当m=1时，故椭圆方程为．
（2）依题意设直线l的方程为：x=ky+1，k∈R，联立得点P的坐标为
．再由韦达定理可知点P可在圆内，圆上或圆外．
（3）假设存在满足条件的实数m，由解得：
．，，又
．由此可知当m=3时，能使△PF1F2的边长是连续的自然数．
【解答】解：∵c1：y=4mx的右焦点F2（m，0） ∴椭圆的半焦距c=m，又
，
．
2
∴椭圆的长半轴的长a=2m，短半轴的长椭圆方程为
．
（1）当m=1时，故椭圆方程为，（3分）
（2）依题意设直线l的方程为：x=ky+1，k∈R
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联立得点P的坐标为
2
2
．
将x=ky+1代入y=4x得y﹣4ky﹣4=0． 设A1（x1，y1）、A2（x2，y2），由韦达定理得y1+y2=4k，y1y2=﹣4． 又
，
．
=
=
∵k∈R，于是
．
的值可能小于零，等于零，大于零．
即点P可在圆内，圆上或圆外．（8分） （3）假设存在满足条件的实数m，
由解得：．
∴，
、
、
．
，又．
即△PF1F2的边长分别是
∴m=3时，能使△PF1F2的边长是连续的自然数．（14分）
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．
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