（1） 如图10.13（a）所示,此时(0,0)?D,P(x,y),Q(x,y)在L所围成的闭区域D内有一阶连续偏导数,由格林公式： I? c
（2）如图10.13（b）所示,此时(0,0)?D,P(x,y),Q(x,y)在L所围成的闭区域D上有不连续点(0,0),以(0,0)为圆心,以充分小??0的为半径作圆周
C:x??cos?,y??sin?,0???2π,
C取逆时针方向,记L和C所围成的闭区域为D1,对复连通域D1应用格林公式,有
??ydx?xdyx?y22L???0dxdy?0.
D 图 10.13
?从而
?ydx?xdyx?y22?ydx?xdy?L?Cx?y22?0
?L=??ydx?xdyx?y2π0C22
=? =?6.计算曲线积分?方向.
解 P(x,y)???sin?(??sin?)??cos???cos??d?=2π.
2d?
2?0xdy?ydx4x?y22C,其中C是(1,0)以为中心,R(R?1)为半径的圆周,逆时针
?y4x?y?P?y22, Q(x,y)?y?x2222x4x?y22,
当4x?y?0时,
22?4x?y??Q?x,C所围成的闭区域记为D,(0,0)究竟在不在
以为(1,0)中心,R为半径的圆内,要分两种情况讨论：
78
（1）R?1时,(0,0)?D（图10-14(a)）,则?xdy?ydx4x?y22C?0;
?x??cos?（2）R?1时,(0,0)?D,作足够小的椭圆L:?,0???2π,
y?2?sin??L取逆时针方向（图10.14(b)）
于是由格林公式,有
（a）R?1
图 10.14
O y y C L C x1 xO 1 （b）R?1
?从而
xdy?ydx?C?L4x?y22?0,
?xdy?ydx4x?y2π0C22=?xdy?ydx4x?y22L
2π0 =??cos?2?cos?)?2?sin?(??sin?)4?cos??4?sin?2222d?=?12d?=π.
注意 易犯错误是不分R?1,R?1两种情况讨论,未注意闭曲线L所围成的闭区域D内有无“洞”,即D是否为“单连通域”？
7.设曲线积分?xydx?y?(x)dy与路径无关,其中?(x)具有连续的导数,且?(0)?0,
L2计算?(1,1)(0,0)xydx?y?(x)dy的值.
22 解 P(x,y)?xy,Q(x,y)?y?(x),因曲线积分与路径无关,
y?(x)?,? 2xy??2由?(0)?0,则C?0,从而?(x)?x.
?P?y??Q?x,
(x?)2x?,?x()?x, C2 I??(1,1)(0,0)xyd?x?y()xd=y?2(1,1)(0,0)xydx?xydy=?ydy=
022112.
8.质点P沿着以AB为直径的圆周,从点A(1,2)运动到点B(3,4)的过程中受变力F的作用,F的大小等于点P到原点O之间的距离,其方向垂直于线段OP且与y轴正向的夹角
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小于
?2,求变力F对质点P所做的功.
解 圆弧AB的方程为(x?2)2?(y?3)2?2,其参数方程为
??x?2? ???y?3?2cots2sitn, (?34π?t?π4)
F??yi?xj，所以
? W??L(?y)dx?xdy??43??4[2(?32stin)ts?in?2(2t2co tst)cos]d ?2(π?1).
9.计算??(x?y)dS,其中?为球面x2?y2?z2?a2.
?2 解 ?:x2?y2?z2?a对x,y,z具有轮换对称性,所以
22???xdS=??ydS=??zdS,
??222于是
???(x?y)dS=
3222??3?(x?y?z)dS=
322223a2???dS几何意义32a32?4πa?283a.
410.计算I????xdydz?[yf(yz)?y]dzdx?[?zf(yz)?z]dxdy,其中f有一阶连续导
数,而?为球面x2?y2?z2?2Rz的内侧((R?0). 解 令P?x,Q?yf(yz)?y,R??zf(yz)?z,则
?P?x?3x,2333?Q?y?f(yz?)y?zf(?y)z2?R3y,???zf(?y)z?y?z(f. z3)y2z 注意到?取内侧,运用高斯公式,得 I=????(??P?y??Q?x?20??R?z)dv?????3(x?y?z)dxdydz
?222 =?3? =?652?0d???20d??2Rcos?0r?rsin?dr
6π5cos?6622?π?sin??32Rcos?d?=
55?32R?5|02=?325πR.
511.计算I????ydzdx?(z?1)dxdy,其中SS22是圆柱面x?y?4被平面x?z=2和
z?2所截出部分的外侧.
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解 法1 设S,S1,S2,?,D1如 图10.15所示,
S1:x?z?2 ; S2:z?0 I????ydzdx?(z?1)dx dyS =[????????]?ydzdx?(z?1)dxdy
S?S1?S2S1S2图 10.15
=???(?1?1)dV????ydzdx???(z?1)dxdy????ydzdx???(z?1)dxdy
?S1S1S2S2 =0???(z?1)dxdy???dxdy=???(2?x?1)dxdy???dxdy
S1S1D1D1 =?2??dxdy???xdxdy=?2π?22?0=?8π.
D1D1法2 设S,D2如上图所示, 则 I????ydzdx?z(?1x)dy?d???yzxd?d
SS =???24?x2dzdx??2?2?2dx?2?x4?x20dz
D2 =?2?2(2?x)4?x2dx=?4?2π.
?2?24?x2dx=?812.计算??(x3?az2)dydz?(y3?ax2)dzdx?(z3?ay2)dxdy,其中?为上半球面?z?a2?x2?y2的上侧.
解 补充S为平面z?0(x2?y2?a2)的下侧. I???(x3?az2)dyd?z(3y?a2x)ddz?x(3?z2ay) ddxy? =(?????)(x3?az2)dydz?(y3?ax2)dzdx?(z3?ay2)dxdy
??SS =???3(x2?y2?z2)dV?ay2dxdy
?x2???y2?a2 =3?2ππd??2sin?d??a00r42π2a3
0dr?a?0sin?d??0rdrπ =6π(?cos?)|20?a55?a?2π1?cos2?a402?4d?
=
2920πa5.
81
13.设函数 u?x2z?12yz?213z
3（1）求梯度gradu;
（2）求向量场A?gradu的散度divA;
（3）计算向量场A?gradu穿过曲面?流向外侧的通量,其中?是由曲面
z?x?y与z?222?x?y所围立体?的表面.
12y?z)k,
2222解 （1）A?gradu?2xzi?yzj?(x2?（2）divA=2z?z?(?2z)?z, （3）通量
??A?ndS????divAdv??????2?0zdv
2?2??ρ =?Ld??10ρdρ?zdz=
π2.
14.求?f(xy)(xdy?ydx),其中L为xOy面上任一分段光滑的闭曲线,f为xOy面上具有连续导数的函数. 解 因为
?P?y???y(yf(xy))?f(xy)?xyf?(xy)???x(xf(xy))??Q?x，
在xOy面上成立,故曲线积分?f(xy)(xdy?ydx)与路径无关,也即沿xOy面上任一封
L闭曲线上的积分为零,故
?Lf(xy)(xdy?ydx)=0.
注意 被积函数中含有未知函数f,并且积分曲线L的方程没有给出,所以不能化为定积分计算,只能用格林公式,或平面上曲线积分与路径无关的条件计算.
15.具有质量的曲面?是半球面z?a?x?y在圆锥z?222x?y22里面的部分,如
?上每点的密度等于该点到xOy平面的距离的倒数,试求?的质量.
解 ?在xOy面上的投影区域为D:x?y?1z1a?x?y2π0a2222a22,dS?aa?x?y222dxdy,??1z.
m????dS?????dS???D2?aa?x?yρdρ
22dxdy
2 =??Daa?x?y22dxdy=a?2d??202a?ρ282
=2πa(?1a222)ln(a?ρ)|20?πaln2.
16.设?是有界闭区域?的光滑边界曲面,函数u在?上有二阶连续偏导数,记
22?u??uu2u?x2???y2???z2.
试证明：???u?ndS?????udxdydz (n是的外法线方向向量).
??证 应用两种曲面积分的关系和高斯公式,得
???udS???(?u?u??n??xcos???ycos???u?zcos?)dS
=???u?u?u??xdydz??ydzdx??zdxdy
222 =???(?u?u??u2??x2??y?z2)dxdydz.
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