西工大—高数答案—曲线积分与曲面积分(5)

=??xdydz?ydzdx?zdxdy=???(2x?2y?2z)dv

?222? =2??dxdy?Dxyhx?y22(x?y?z)dz

hx?y22 =2??(x?y)dxdy?Dxydz?2??dxdy?Dxyhx?y22zdz

22 =2??(x?y)(h?Dxy2π0x?y)dxdy?2??Dxyh222h?(x?y)22dxdy

=2?(cos??sin?)d??(h?ρ)ρdρ?0h23?π22π022d??(h?ρ)ρdρ

0h =0?2π?(hρ?ρ)dρ=2π[0h42?h44]=h.

47.已知向量场A?xzi+x2yj+y2zk,求A的散度以及A穿过?流向?指定侧的通量,其中?为z?x2?y2,x2?y2?1以及三个坐标面在第一卦限所围立体全表面的外侧. 解 令P?xz,Q?x2y,R?y2z,则A的散度 divA?通量

???P?x??Q?y??R?z?z?x?y.

22??A??ndS=???divAdv=???(z?x?y)dv

?x?y02222? =??dxdy?Dxy22(z?x?y)dz (Dxy:x?y?1,x?0,y?0)

22 =??Dxy32?(x?y)dxdy=?22220d??1032r?rdr

4 =

π31π??=. 2268第七节 斯托克斯公式 环量与旋度

1.利用斯托克斯公式计算?ydx?zdy?xdz,这里?为曲线

??x2?y2?z2?a2 ??x?y?z?0从x轴正向看去,?为逆时针方向.

解 平面x?y?z?0的上侧法线的方向余弦为

73

cos??co?s?c?o?s13 设?为平面x?y?z?0上由圆周?所围成的面域,取上侧,相应的单位法向量

(13,13,13).

于是

cos?cos???yzcos???zxdS

??ydx?zdy?xdz=?????xy =???(cos??cos??cos?)dS

? =?3??dS=?3πa.

?22.求向量场A=(z?siny)i-(z-xcosy)j的旋度.

ij??y?z?xcosyk??z0 解 rotA=??xz?siny=i?j.

3.求平面向量场A=(x2?y2)i+2xyj沿闭曲线L的环流量,其中L是

x?0,x?a,y?0,y?b

所围成的正向回路. 解 环向量

?L(x?y)dx?2xydy=4??ydxdy=4?dx?ydy=2ab.

Dxy0022ab2224.利用斯托克斯公式计算?xyzdz,其中?是用平面y?z截球面x?y?z2?1所得

L的截痕,若逆z轴正向看去,取逆时针的方向. 解 由斯托克斯公式

dydzdzdx??y0dxdy??zxyz?Lxyzdz=

??x0=??xzdydz?yzdzdx,

?其中?是平面y?z上以圆?为边界的平面,其侧与?的正向符合右手规则.显然,?在yoz坐标面上的投影为一线段,所以??xzdydz?0.

?74

?在xoz坐标面上的投影为一椭圆域D:x2?2z2?1,且?的法向量与y轴成钝角, 从而

1???yzdzdx????zD2dzdx=??212zdz?221?2z2?1?2z2dx

π1 =4?20zπ21?2zdz令2z?sint2?2sintcostdt

022 =2?2(sin2t?sin4t)dt=2(?01π22?31π2??)=π. 42216

第十章 曲线积分与曲面积分（总习题）

1.填空.

（1）设平面曲线L为下半圆周y??1?x2,则曲线积分?(x?y)ds的值是?;

L22 （2）向量场u(x,y,z)?xy2i?yezj?xln(1?z2)k在点P(1,1,0)处的散度divu?2. （3）设L为取正向的圆周x2?y2?9,则曲线积分?(2xy?2y)dx?(x?4x)dy的值是

L2?18π.

解 （1）?(x?y)ds=?ds=

LL2212?2π?1=π.

2z1?z2 （2）divu=

?P?x??Q?y??R?z=y?e?x?2xz1?z22Z,

u从而 div|?y?P22ze?(1,1,0)|?. 2 （3）?(2xy?2y)dx?(x?4x)dy

L2 =??(2x?4?2x?2)dxdy=?2??dxdy=?2?π?3=?18π.

DD2.计算?dx?dyABCDAx?y,ABCDA是以点A(1,0),B(0,1),C(?1,0),D(0,?1)位顶点的正方

形正向边界. 解 法1 I??dx?dyABCDAx?y??ABCDAdx?dy???(0?D0)xdyd?. 0此法是先将正方形的边界x?y?1代入被积函数后,再用格林公式求解. 法2 因 AB:x?y?1 ,BC:y?x?1,

CD:?x?y?1,DA:x?y?1.

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从而

I?(???????)dx?dyx?yABBCCDDA

=(?AB??BC??CD???10DA)dx?dy

01 =?(1?1)dx??10(1?1)dx??(1?1)dx??(1?1)dx

?10 =2??10dx?2?dx=0.

01 法2是分段分别计算,比较一下还是法1简便.但切记不可直接对?公式.请同学们动脑筋想一下,这是为什么？

3.计算I?dx?dyABCDAx?y用格林

?AB(x?yz)dx?(y?zx)dy?(z?xy)dz,AB为螺线

x?cos?,y=sin?,z??

222由点(1,0,0)到点(1,0,2π)的弧段. 解 I? =? =? =

2?02?0?AB(x?yz)dx?(y?zx)dy?(z?xy)dz

222222[(cos???sin?)(?sin?)?(sin???cos?)cos??(??sin?cos?)]d?

cos?dcos??332?2?0?cos2?d??2π0?2?0sin?dsin??2?2?0?d???22?0sin?dsin?

cos?3|2π0?0?13sin?33|??333|2π0?sin?22|0

2π =0?0?0?(2π)?0=

83π.

????4.设AB为连接点A(1,2)与B(2,3)的某曲线弧,又设AB与直线段AB所包围图形的面

积等于k,计算曲线积分???AByx2dx?(x?1x??)dy.(直线段AB与曲线弧AB除点A,B外无其它

??交点,曲线弧AB不与y轴相交,且自身不相交).

解 P(x,y)?yx2, Q(x,y)?x??Q?x?P?y1x,则 11?1, 22xx?? 直线段BA:y?x?1,x由2到1,记AB与BA所围成的闭区域为D,由于要用到格林公

??1??式,所以要分两种情况讨论：

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（1）

I???AB取逆时针方向（如图10.12(a)）

图 10.12

y??AB?x2dx?(x?1x)dy=(?AB?BA??BA)yx12dx?(x?2x?1x21x)dy 1x =??dxdy?D12?yBAxdx?(x?21x)dy=k??(?x?)dx

=k????(x?1x2)dx=k?2.

（2）AB取顺时针方向（如图10.12（b）所示）. I??y??ABx2dx?(x?1x)dy=(?AB?BA??BA)yxdx?(x?21x)dy

=???dxdy?D12?yBAxdx?(x?21x)dy

=?k??(x?1x2)dx=?k?2.

注意 常见错误是不讨论AB是取逆时针方向,还是取顺时针方向,就直接利用了格林公式,这是不对的.

5.计算曲线积分??ydx?xdyx?y2??L22.

2 （1）L是圆周(x?1)?(y?1)?1的正向; （2）L是曲线x?y?1的正向.

解 P(x,y)??yx?y22, Q(x,y)??P?y2xx?y2222,当x?y?0时, ?Q?x22?y?x2(x?y)2?,

记曲线L所围成的闭区域为D.

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