西工大—高数答案—曲线积分与曲面积分(4)

择二重积分前的正、负号.

???f(x,y,z)dxd=y???f[x,y,z(x,y)]dxdy,

Dxy

??g(x,?y,z)dyd=z???g[x(y,z),y,z]dydz,

Dyz

??R(x,?y,z)dzd=x???R[x,y(z,x),z]dzdx.

Dzx 将第二类曲面积分化为二重积分时,究竟什么时候二重积分前面写正号,什么时候写负号,这与所给曲面的侧有关.切记：

上侧取正,下侧取负; 前侧取正,后侧取负; 右侧取正,左侧取负;

3.计算??xzdxdy,其中?是平面x?0,y?0,z?0,x?y?z?1所围成的空间区域的

?整个边界曲面的外侧.

解 如图10.11所示,???1??2??3??4,其中?1,?2,?3,?4各自对应于四面体的一个表面,可表示为

?1:z?0 下侧; ?2:y?0 左侧;

?3:x?0 后侧; ?4:x?y?z?1 上侧.

z 1 ?2 O?1 ?3 ?4 由于?1在z?0平面上,故在?1上的曲面积分为0; 同理,在?2,?3上的曲面积分也都为0,所以,所求积分

1 x1 y??xzdxdy=??xzdxdy

??4图 10.11 由?4得方程得z?1?x?y,?4在xoy面上的投影域为

?x,0?x?1, Dxy:0?y?1于是

??xzdxdy=??xzdxdy=??x(1?x?y)dxdy

??4?4 =??x(1?x?y)dxdy=?xdx?Dxy011?x0(1?x?y)dy=

124.

22224.计算??xdydz?ydzdx?zdxdy,其中?为球面x?y?z?R的外侧.

? 解 由题设,?的单位法向量

68

n=(cos?,cos?,cos?)=由两类曲面积分的关系,可得

1(2x)?(2y)?(2z)222(2x,2y,2z)=

1R(x,y,z).

??xdydz?ydzdx?zdxdy=??(xcos????ycos??zcos?)dS

=

1R??(x?y?z)dS=

??2221R???RdS

2 =R??dS几何意义R?4πR2=4πR3.

5.计算I=??f(x)dydz?g(y)dzdx?h(z)dxdy,其中f,g,h为连续函数,?为平行六面

?体?:0?x?a,0?y?b,0?z?c表面的外侧. 解

??h(z)dxdy=??h(c)dxdy???h(0)dxdy=ab[h(c)?h(0)],

?DxyDxy

??g(y)dzdx=??g(b)dzdx???g(0)dzdx=ac[g(b)?g(0)],

?DxzDxz???f(x)dydz=??f(a)dydz?Dyz??Dyzf(0)dydz=bc[f(a)?f(0)],

h(c)?h(0)c从而 I=abc[f(a)?f(0)a?g(b)?g(0)b?].

注意 本题易犯的错误是利用高斯公式来解,题目中仅告诉我们,f,g,h为连续函数,又如何对f,g,h求导呢?

6.计算??[f(x,y,z)?x]dydz?[2f(x,y,z)?y]dzdx?[f(x,y,z)?z]dxdy,其中

?f(x,y,z)为连续函数,?是平面x?y?z?1在第四卦限部分的上侧.

解 平面x?y?z?1的法线向量为n={1,?1,1},方向余弦为

cos??13,cos???13,cos??13,

则

I=??[f(x,y,z)?x]dydz?[2f(x,y,z)?y]dzdx?[f(x,y,z)?z]dxdy

? =??[(f?x)cos??(2f?y)cos??(f?z)cos?]dS

? =??[(f?x)?13?(2f?y)(?13)?(f?z)13]dS

69

=13??(x?y?z)dS=

?13??dS=?13??Dxy1?(12?z?x)?(2?z?y2)dxdy

=

13??Dxy221?(?1)?1dxdy=??dxdy=

.

Dxy第六节 高斯公式 通量与散度

1.设计??(x?yz)dydz?(y?zx)dzdx?(z?xy)dxdy,其中?为平面

?222x?0,y?0,z?0,x?a,y?a,z?a

所围成的立体的表面的外侧. 解 由高斯公式,

I=??(x?yz)dydz?(y?zx)dzdx?(z?xy)dxdy

?222 =???(2x?2y?2z)dv=2???(x?y?z)dv

?? 设该正方体的形心坐标为(x,y,z),则x?y?z?a2,

???xdv而 x?????xdv?????ydv,y?????zdv,z?????dv?vvv,

所以

???xdv?xv, ???ydv???yv,

12???zdv?zv,.

?从而 I=2(x?y?z)v=2(a?21a?12a)a=3a.

34本题巧妙地利用了重心坐标公式,将利用高斯公式后得到的三重积分???(x?y?z)dv?的计算转化为计算(x?y?z)v,从而使问题得到解决.

22222.计算??4xzdydz?ydzdx?2yzdxdy,其中?是球面x?y?z?a外侧的上半部

2?分(a?0).

222 解 补充平面?1:z?0(x?y?a)取下侧,

I=(?????1????12)4xzdydz?ydzdx?2yzdxdy=???(4z?2y?2y)dv?0

? =4???zdv=4??2π0d??a0ρdρ?a??022zdz=8π?ρ?ρaa?ρ222dρ=πa.

470

注意 易犯的错误是

（1）I=??4xzdydz?ydzdx?2yzdxdy=???(4z?2y?2y)dv=4???zdv=?

?2??产生错误的原因是,没有注意到?仅是球面的上半部分,?并非封闭曲面,不能直接用高斯公式.尽管本题中沿曲面?1的积分：??4xzdydz?y2dzdx?2yzdxdy?0,致使题目答案

?1未受任何影响,但对不封闭的曲面直接用高斯公式,显然是不对的.

（2）有同学在补充平面?1:z?0(x2?y2?a2)时,不写取什么侧,这也不妥.

3.计算???21yf(xy2)dydz?a1xf()dzdx?zdxdy,其中f(u)具有一阶连续导数,?为柱xy面(x?a)?(y?a)?()及平面z?0,z?1(a?0)所围成立体的表面外侧.

22解 利用高斯公式,有

I=???1yf(1y2xy)dydz?1xf()dzdx?zdxdy xy =???[?x1xf?()?2f?()?1]dv=???dv yyy?π4a.

332 =π?()?1=

23a24.计算??xdydz?ydzdx?zdxdy,其中?为球面x2?y2?z2?a2的内侧.

? 解

??x?3dydz?ydzdx?zdxdy=?3???(x?y?z)dv

?2π0πa433222 =?3?d??sin?d??ρdρ=?00125πa.

5 注意 易犯的错误是

???xdydz?ydzdx?zdxdy=3???(x?y?z)dv

?23332222=3???adv=3a?43πa=4πa.

35?这里有两个错误：

(1) 不注意高斯公式使用的条件：?应是空间闭区域?的整个边界曲面的外侧. 本题所 给的闭曲面是球面的内侧. 因此在将闭曲面上的曲面积分

???xdydz?ydzdx?zdxdy

333 71

化成三重积分3???(x?y?z)dv时,前面必须写上负号.

?222(2) 将曲面积分与三重积分的计算法混为一谈. 计算三重积分???(x?y?z)dv时,

?222因为?为球体：x2?y2?z2?a2,因此不能将三重积分中的被积函数x2?y2?z2用a2代入,这种做法是常犯的错误. 只有计算曲面积分时,才能将曲面方程代入被积函数.

5.计算I???x?3dydz?2xzdzdx?3yzdxdy,其中积分曲面?为抛物面

22z?x?y(0?z?1)

22的上侧.

解 令?1:z?1(x2?y2?1),取下侧,则???1构成封闭曲面,取内侧. 于是

??xdydz?2xzdzdx?3yzdxdy=????(?322?P?x2??Q?y2??R?z)dv

???1 =????3(x?y)dxdydz=?3??dxdy??221x?y22(x?y)dz

π2Dxy2π011r1=?3?d??rdr?032rdz=?6π?r(1?r)dr=?202.

由于?1在平面z?1上,?1在zOx,yOz坐标面上的投影为直线段,故dzdx=dydz=0,

?1在xOy坐标面上的投影域为Dxy:x?y?1,于是

22???xdydz?2xzdzdx?3yzdxdy=??3y2dxdy=???3ydxdy

?13222Dxy1 =?3? 所以

I?2?0d??ρ?ρsin?dρ=?3?01222?0sin?d??ρdρ=?0233π4.

?????1xdydz?2xzdzdx?3yzdxdy?3π4π4322???1xdydz?2xzdzdx?3yzdxdy

322 =?π2?(?2)=.

222226.计算??(xcos??ycos??zcos?)dS,其中?是由x?y?z及z?h

?(h?0)所围成的闭曲面的外侧,cos?,cos?,cos?是此曲面的外法线的方向余弦.

222 解 ?在xOy平面上的投影区域为：x?y?h.

I=??(xcos??ycos??zcos?)dS

?22272

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