第四节 第一类曲面积分
1.设有一分布着质量的曲面?,在点(x,y,z)处它的面密度为?(x,y,z).用曲面积分表示：
（1）这曲面?的面积A=______; （2）这曲面?的质量M=______;
（3）这曲面?的重心坐标为x=______,y=______,z=______; （4）这曲面?对于x轴,y轴,z轴及原点的转动惯量
Ix=__,Iy=__,Iz=______,I0=______.
解 （1）A=??dS.
? （2）M=???(x,y,z)dS.
???x?(x,y,z)dS （3）x=
???y?(x,y,z)dS,y=
???z?(x,y,z)dS,z=
????(x,y,z)dS?22?22???(x,y,z)dS?2?2???(x,y,z)dS?.
（4）Ix=??(y?z)?(x,y,z)dS, Iy=??(x?z)?(x,y,z)dS, Iz=??(x?y)?(x,y,z)dS, I0=??(x?y?z)?(x,y,z)dS.
??2222.计算??(z?2x??43y)dS,其中?为平面
x22x2?y3?z4?1在第一卦限中的部分.
解 如图10.8所示，?:
?z?x?z?y?y3?z4?1,
?z?x??2,
?z?y??43,
z 4 dS?1?()?(2)dxdy=43613x2?dxdy,
O y3?z4)?4,
3 y 在积分曲面上,被积函数z?2x?y=4(2 x Dxy从而
3?0?y?3?x?:?2, ?0?x?2?图 10.8
??(z?2x??43y)dS=??4?Dxy613dxdy
63
=4613??dxdy=Dxy4361?3=461. 3.计算??(x?y)dS,其中?是锥面z??2222x?y
及平面z?1所围成的区域的整个边界曲面. 解 如图10.9所示,
?1:z?x?y,22?z?x?z?y?xx?y22,
?z?y?yx?y222,
图 10.9
dS?1?(?z?x)?(2)dxdy=
222dxdy,Dxy:x?y?1.
22?2:z?1,dS?dxdy,Dxy:x?y?1,
???(x?y)dS=??(x2?y2)dS??122??(x?y)dS
?222 =?2π0d??ρ01122ρdρ?1?2π0d??ρρdρ
012 =22π?ρdρ?2π?ρ3dρ=
003π2(2?1).
4.计算I=??(xy?yz?zx)dS,其中?为锥面z??x?y被柱面x?y?2ax所截
2222成的部分(a?0).
解 因为积分曲面?关于zOx坐标面（即y?0平面）对称,xy?yz?y(x?z)是关于
y的奇函数,所以
I=??y(x?z)dS????zxdS＝0???zxdS
??此外,在?上,z?x?y,dS?2222dxdy,且?在xOy面上的投影为
2Dxy:x?y?2ax,
因此
I＝??zxdS＝??x?πx?ydS＝2??xx2?y2dxdy
Dxy22? ＝2?2π?2d??2acos?0?rcos?dr＝82a34?20cos?d?
5 ＝82a?4426424?＝a． 531564
5.计算??dS,其中?为抛物面z?2?(x2?y2)
?在xOy面上方的部分.
解 如图10.10所示,
z?2?(x?y),
22?z?x??2x,
?z?y??2y,
dS?1?(?z?x)?(2?z?y222)dxdy=1?4x?4ydxdy,
图 10.10
Dxy:x?y?2,
22??dS=??1?4x?4ydxdy=??222π0d??201?4ρρdρ
2Dxy1 =2π?20(1?4ρ)d(1?4ρ)?222218
13π2π. =?(1?4ρ2)3|02=3436.计算??(x?y?z)dS,其中?为球面x2?y2?z2?a2上z?h(0?h?a)的部分.
? 解 ?在xOy面上的投影为圆域：Dxy:x?y?a?h, dS=1?(?xa?x?y2222222)?(2?ya?x?y222222)dxdy=2aa?x?y222dxdy,
故
=??(x?y?z)dS???(x?y?a?x?y)?Dxyaa?x?y222dxdy
aa?x?y222由积分区域的对称性可得：??x?Dxy22aa?x?y222dxdy=0，??y?Dxydxdy=0,
又积分区域Dxy的面积为π(a?h),故
22(x?y?z)dSadxdyπa(a?h). ==?????Dxy2222227.求柱面x?y?ax?0在球面x?y?z?a内部的部分的表面积(a?0). 解 由对称性,所求面积A为其位于第一卦限部分面积的4倍,即A?4??dS,其中曲面
??为y?ax?x,求得面积元素
2 65
dS?1?yx?yzdxdz=22a2ax?x2dxdz,
222??z?a?x?y由?,消去y,得z?22??x?y?axa?ax,由此得?在zOx坐标面上的投影为:
2 Dxz:0?z?因此,曲面?的面积 A?4??dS=4???Dxz22a?ax, 0?x?a,
a2ax?x2dxdz
=2a?dx?0a0aa?ax0dzax?x22=2a?a0a?axax?x22dx
=2a?axdx=4a.
8.设S为椭球面
x22?y22?z?1的上半部分,点P(x,y,z)?S,π为S在点P处的切平
zf(x,y,z)xX22?122面,f(x,y,z)为点O(0,0,0)到平面?的距离,求??SdS
解 设(X,Y,Z)为?上任意一点,则π的方程为
x2?yY2?zZ?1,从而知
f(x,y,z)=(x24?y24?z?y?z),
?y由 z?1?2?y22,有
?z?x=21??xx222?y2,=21?x2222?y2
222dS=1?(?z?x)?(?z?y)dxdy=24?x?y21?x2dxdy,
2?y2从而
??Szf(x,y,z)dS=
1??(4?x4D2π02?y)dxdy
22 = =
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1?432d??0(4?ρ)ρdρ
2π.
第五节 第二类曲面积分
1.当?是xOy面内的一个闭区域D时,??f(x,y,z)dS与二重积分的关系为
? （1）??f(x,y,z)dS=??____dxdy,（2）??R(x,y,z)dS=??____dxdy.
?D?D 解 （1）f(x,y,0), （2）?R(x,y,0).
注意 因第一类曲面积分与所给曲面的侧无关,所以(1)中应填f(x,y,0);而第二类曲面积分与曲面的侧有关,所以(2)中应填?R(x,y,0),有个别同学常疏忽这一点,只填
R(x,y,0,)这是不对的.
2.计算??xdydz?ydzdx?zdxdy,其中?为半球面z??222a?x?y的上侧.
222 解 记?1:x?a?y?z,取前侧,?2:x??a?y?z取后侧,?1与?2在yoz222222面的投影区域相同,记为Dyz.
???xdydz=??x2dydz+??x2dydz
?1?22 =??(a?y?z)dydz?Dyz222??(a?y?z)dydz=0.
Dyz222同理
??y?2dzdx=0,
而 从而
??z?2dxdy=
2??2x?y?a2(a?x?y)dxdy=?2222?0d??(a?ρ)ρdρ=
0a22πa24.
I=??xdydz?ydzdx?zdxdy
?222 =??xdydz+??ydzdx+??zdxdy
???222 =0+0+
πa24=
πa24.
注意 常见的错误是：
???xdydz=??x2dydz+??x2dydz=2??(a?y?z)dydz
?1?22222Dyz或
??y?2dzdx=2??(a2?x2?z2)dzdx.
Dzx 产生错误的原因是忽视了将第二类曲面积分化为二重积分时,应根据积分曲面的侧选
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