西工大—高数答案—曲线积分与曲面积分(2)

= =

1?232a2π0[acost?3asintcost?asint(?3acostsint)]dt

2π032322?sintcostdt=1?cos4t23822238a2?2π0sin2tdt

2 =a2?8L32π0dt=πa.

223.证明?(6xy?y)dx?(6xy?3xy)dy只与L的起始点有关,而与所取路径无关,并计算积分?(3,4)(1,2)2322(6xy?y)dx?(6xy?3xy)dy.

23解 P?6xy2?y3,Q?6x2y?3xy2,故

?P?y?12xy?3y?2?Q?x,所以积分与路径无关,

?(3,4)(1,2)32322(6xy?y)dx?(6xy?3xy)dy

=?(24x?8)dx?1?422(54y?9y)dy=[12x?8x]1?[27y?3y]2

23234 =80?156?236. 或者

?(3,4)(1,2)(3,4)(1,2)(3,4)(1,2)(6xy?y)dx?2223(6x?y3223xy )dy =? =?(6xydx?6xydy)?(ydx?3xydy)

223d(3xy?xy)=[3xy?xy](1,2)=236.

2223(3,4)4.计算I??Le(1?cosy)dx?e(siny?y)dy,

xx其中L为从O(0,0)到A(?,0)的正弦曲线y?sinx. 解 如图10.5所示,由格林公式 I=?e(1?cosy)dx?e(siny?y)dy

Lxx =(?L?AO??)e(1?cosy)dx?e(siny?y)dy AOxπsinx0xx图 10.5

=???(?ye)dxdy?0=?exdx?D0ydy

= =

1?2?π0esinxdx=

xx21?4π0e(1?cos2x)dx

14πx14π0edx?14?π0ecos2xdx=

x(e?1)?120(e?1)=

π15(e?1).

π58

其中

?π0xxπxecos2xdx=?cos2xde=ecos2x|0??edcos2x x00ππππ =e??1?2?exsin2xdx=eπ?1?2?sin2xdex

00πx =eπ?1?2exsin2x|0?2?edsin2x

0ππ =e?1?4?excos2xdx.

0π移项解之,得

?π0ecos2xdx?x15(e?1).

π注意 本题易犯两个错误： （1）I=(?L?AO??)e(1?cosy)dx?e(siny?y)dy=??(?ye)dxdy. AODxxx产生错误的原因是,没有注意格林公式使用时的条件：

??D(?Q?x??P?y)dxdy??LPdx?Qdy,

其中C是D的取正向的边界曲线.而本题的闭曲线L?AO是D的取负向的边界曲线,所以二重积分??(D?Q?x??P?y)dxdy前面必须添加负号.

π（2）计算定积分?excos2xdx是连续两次使用部分积分法后移项解出来的.对此积分有

0些同学束手无策,有些则在连续使用分布积分法?udv?uv??vdu时,每次选取函数u(x),不注意必须是同类函数（如选三角函数作为u(x)就一直选三角函数,如选e作为u(x)就一直选e）,结果就出现了恒等式?udv??udv,即前进一步又倒退一步,致使积不出来.

5. 已知??(x)连续,且?(0)??(1)?0,A(0,0),B(1,1),计算

I?xx?AMB[?(y)e?y]dx?[??(y)e?1]dy

xx其中AMB是以AB线段为直径的上半圆周.

解 如图10.6所示 I??AMB[?(y)e?y]dx?[??(y)e?1]dy ?xx =[?AMB?BA?BA][?(y)e?y]dx?[??(y)e?1]dy [?(y)e?y]dx?[??(y)e?1]dy

xxxx =???dxdy?D?AB图 10.6

59

=? =? =? =?π4π4π4π4π4????323210[(?(x)???(x))e?(x?1)]dx

x10x10x?10?(x)edx?x????(x)edx?x?(x?1)dx

?10?(x)edx?10x10ed?(x)?x132

1x????(x)edx?e?(x)|0???(x)edx

0 =??=?(π4?32).

本题需注意两点：

（1）同上题一样,使用格林公式时要注意边界曲线的方向,本题因是负向,故二重积分前必须添上负号;

（2）因?(x)是抽象函数,不可能直接将??(x)exdx?0111?10??(x)edx积出来,请不要先急

1xx于积分,先用分布积分法将???(x)exdx表示为?exd?(x)?ex?(x)|1??(x)edx,则两0?000项抽象函数的定积分就抵消了,问题就可得到解决,因此在解题过程中一定要善于思考,从中 发现解题技巧.

6.证明

(x?y)dx?(x?y)dyx?y22在右半平面(x?0)内为某一函数u(x,y)的全微分,并求

出一个这样的函数u(x,y).

解 P?x?yx?y22,Q?x?yx?y22,由于

?P?y?y?2xy?x(x?y)22222??Q?x,所以

(x?y)dx?(x?y)dyx?y22

为某一函数u(x,y)的全微分.取定点M0(1,0),对于右半平面上任一点M(x,y),令 u(x,y)=? =?(x,y)(1,0)(x?y)dx?(x?y)dyx?y22=?x1x?0x?0dy

2dx??y0x?yx?y22dy

x11xdx??y02xx?yyx?dy?22?y02yx?y22 =lnx?arctan =arctanyx12122ln(x?y)?lnx

?ln(x?y).

260

7.已知曲线积分?(1?y)dx?(9x?x)dy,其中L为圆周(x?a)2?y2?a2 (a?0),

L33取逆时针方向,求a的值,使得对应曲线积分的值最大.

解 显然P?1?y3,Q?9x?x3在区域D:(x?a)2?y2?a2内有一阶连续的偏导数,由格林公式

I(a)=?Pdx?Qdy=??(LD?Q?x2??P?y)dxdy=??(9?3x?3y)dxdy

D22? =9??dxdy?3??(x?y)dxdy=9πa?3?DD222??2d???2acos?0rdr

3? =9πa?3?222??24acos?d?=9?a2?24a4?31π924??=9πa?πa. 422244204cos?d?

=9πa?24a?42故将a?0和a??1舍I?(a)?18πa(1?a),令I?(a)?0,解得a?1（依题意设a?0，

去）,因为a?1是I(a)在(0,??)内唯一的驻点,且

I??(a)?18π?54π=?36π?0,

故I(a)在a?1处取得最大值,因此a?1,即当积分路径为(x?1)2?y2?1时,对应曲线积分 的值最大.

8.求?ydx?(x?1)dy(x?1)?y2L22,其中

22 （1）L为圆周x?y?2y?0的正向;（2）L为椭圆4x?y?8x?0的正向.

解 令P(x,y)?y(x?1)?y222,Q(x,y)??(x?1)(x?1)?y2222,则当(x?1)?y?0时,有

22?Q?x?(x?1)?y2[(x?1)?y]22??P?y,

记L所围成的闭区域为D,

（1）L:x?y?2y?0,即x?(y?1)?1, 此时(1,0)?D,（如图10.7(a)所示）.

2222图 10.7(a)

图 10.7(b)

61

由于

?Q?x??P?y,由格林公式,

?ydx?(x?1)dy(x?1)?y222L?0.

（2）L:4x?y?8x?0,即(x?1)?22y24?1,此时(1,0)?D,以(1,0)为圆心,以充分

?x?1??cos???0小的为半径作圆周C:?,?由0到2?,取逆时针方向（如图10.7(b)所示）.

y??sin??记L和C所围成的闭区域为D1,对复连通区域D1应用格林公式,得 从而

I=??ydx?(x?1)dy?L?C(x?1)?y22?0,

ydx?(x?1)dy(x?1)?y2π0L22=?ydx?(x?1)dy(x?1)?y22C

=? =??sin?(??sin?)??cos???cos???d?=?2π.

2d?

2π0注意 （2）中由于点(1,0)位于L所围成的闭区域D内,需用复连通域上的格林公式,以避开(1,0)点,考虑到被积函数的分母为(x?1)2?y2,故取圆周C:???x?1??cos?y??sin?,有同学不

考虑“洞”,即点(1,0),直接用格林公式,得到?9.求I?ydx?(x?1)dy(x?1)?y22L?0是错误的.

?L[esiny?b(x?y)]dx?(ecosy?ax)dy,其中a、b为正常数,L为从点

xxA(2a,0)沿曲线y?2ax?x到点O(0,0)的弧.

2解 添加从点O(0,0)沿y?0到点A(2a,0)的有向直线段L1,则

I??L?L1[esiny?b(x?y)]dx?(ecosy?ax)dy??[esiny?b(x?y)]dx?(ecosy?ax)dyL1xxxx =??[(ecosy?a)?(ecosy?b)]dxdy??D2a0xx2a0?bxdx

=??(b?a)dxdy?b?Ddx=(b?a)π2a?2b2(2a)

2 =(

62

π2?2)ab?2π2a.

3

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