西工大—高数答案—曲线积分与曲面积分

第十章 曲线积分与曲面积分

第一节 第一类曲线积分

1.设xOy平面内有一分布着质量的曲线弧L,在点(x,y)处它的线密度为?(x,y),用对弧长的曲线积分表示：

（1）这曲线弧L的长度S?_______; （2）这曲线弧L的质量M?_______;

（3）这曲线弧L的重心坐标：x?___;y?___;

（4）这曲线弧L对x轴,y轴及原点的转动惯量Ix?____;Iy?____;I0?____. 解 （1）S??dLs;

（2）M??L?(x,y)ds;

（3）L?(x,y)dsx??x, Ly?(x,y)ds, ??(x,y)dsy??L?L?(x,y)ds （4）I2x??Ly2?(x,y)ds, Iy??Lx?(x,y)ds, I0??22L(x?y)?(x,y)ds

2.（1）设L为椭圆

x2y2224?3?1,其周长为a,求?L(3x?4y)ds.

（2）设L为圆周x2?y2?64,求?22Lx?yds.

解 （1）L：x2y224?3?1,即3x?4y2?12,

从而

?22L(3x?4y)ds=?L12ds=12?ds=12aL.

（2）L：x2?y2?64, 从而?x2?y2Lds=?L8ds=8?Lds=8?2π?8=128π.

3.计算?L(x2?y2)ds,其中L是以(0,0),(2,0),(0,1)为顶点的三角形.

y 解 如图10.1所示,

1 LLy?0,x从0?2, 3:x?2?2y1：L2 L2：x?0,y从0?1, O L1 2 x L3：x?2?2y,y从0?1,

图 10.1

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ds?从而

dx21?()yd?dy5y. d?L(x?y)ds=?(x2?y2)ds+?(x2?y2)ds+?(x2?y2)ds

L1L2L322 =?x2dx?02?10ydy?12225?[(2?2y)?y]dy 01 =?3813?5?(4?8y?5y)dy=3?02535. 4.计算?Lx?yds,其中L为曲线x?y?2x.

2222 解1 L的参数方程为 L：??2π0?x?1?cos?,y?sin?, 0???2π. 计算出ds?d?,于是

2π0

?Lx?yds=?2222(1?cos?)?sin?d?=2?cos?2d?

?2?u4?π0πcousud=8?20cosudu=8.

π2π2 解2 在极坐标系下,L:r?2cos?, ?????.计算出ds?r?r?d?=2d?,于

22?是?Lx?yds=?222??22cos??2d?=8?20cos?d?=8.

5.求空间曲线x?e?tcost,y?e?tsint,z?e?t(0?t???)的弧长. 解 ds?x?(t)?y?(t)?z?(t)dt

?2t222 =e(?cost?sint)?e2?2t(cost?sint)?e2?2tdt

=3edt, 从而 s?3???0?te?tdt?. 36.有一铁丝成半圆形x?acost,y?asint,0?t??,其上每一点处的密度等于该点的纵坐标,求铁丝的质量. 解 ds? m?(dxdt)?(2dydt)dt=(?asint)2?(acost)2dt=adt.

ππ2?LL?ds=?yds=?asint?adt=a2?sintdt=2a2.

L002227.计算?(x?y?z)ds,其中L为球面x?y?z?a与平面x?y?z?0的交线.

2254

解 由于x2?y2?z?a2与x?y?z?0对x,y,z都具有轮换对称性,故 于是

?Lxds=?yds=?zds,?xds=?yds=?zds.

LLLLL222?Lxds=

21313(?xds?L2?2Lyds?2?Lzds)

22=

?L(x?y?z)ds=

22a3?Lds=

a23?2πa=

23πa.

3?x2?y2?z2?a2其中?ds为圆周?的周长,显然平面x?y?z?0过球面

L?x?y?z?0x?y?z?a

2222的球心O(0,0,0),所以L为该球面上的大圆,即半径为a,故周长为2?a.又因为

?所以

L(y?z)ds=?yds?L?Lzds=0,

?

L(x?y?z)ds=

2223πa.

3第二节 第二类曲线积分

1.计算?(x?y)dx?(x?y)dyx?y22L,其中L为圆周x2?y2?a2（按逆时针方向绕行）.

解 L:x?acost,y?asint,t由0到2π, 从而

I=?(x?y)dx?(x?y)dyx?y2?0L22

=?[(cost?sint)(?sint)?(cost?sint)cost]dt

2?=??0dt=?2π.

2222.计算?(x?y)dx,其中L是抛物线y?x上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧.

L 解 I=?(x?y)dx=?(x2?x4)dx=?L02225615.

3.计算?(2a?y)dx?xdy,其中L为摆线

Lx?a(t?sint),y?a(1?cost)

上对应t从0到2π的一段弧（图10.2）.

图 10.2

55

解 I=?(2a?y)dx?xdy

L =? =a2?0{[2a?a(1?cost)]a(1?cost)?a(t?sint)asint}dt

2?02?2tsintdt=?2πa.

4.计算?[1?(xy?y)sinx]dx?[(x?xy)siny]dy,其中L为上半椭圆

L22x?xy?y?1(y?0),

22从点(?1,0)到点(1,0)的一段弧.

解 由x2?xy?y2?1可得xy?y2?1?x2,x2?xy?1?y2,代入积分式,得

?L[1?(xy?y)sinx]dx?[(x?xy)siny]dy

2222 =?[1?(1?x)sinx]dx?(1?y)sinydy

L =?[1?(1?x2)sinx]dx??11?002(1?y)sinydy=2.

5.计算?xdx?ydy?zdz,其中?是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的直线段.

?222 解 ?的点向式方程为：

x?11?y?12?z?13,从而?得参数方程为

x?1?t,y?1?2t,z?1?3t,t由0到1.

I=?[(1?t)2?2(1?2t)2?3(1?3t)2]dt

01 =(1?t)36.计算

1130?131(1?2t)30?131(1?3t)30=32.

??dx?dy?ydz,其中?为有向闭折线ABCA,这里的A,B,C依次为点

(1,0,0,)(0,1,0),(0,0,1).

解 如图10.3,AB:x?1?y,z?0,y由0到1.

?ABdx?dy?ydz=??2dy=?2;

01BC:y?1?z,x?0,z由0到1;

?BCdx?dy?ydz=?(2?z)dz=

0132;

图 10.3

CA:z?1?x,y?0,x由0到1;

?CAdx?dy?ydz=?dx=1,

0156

故 I=(?AB??BC??CA)dx?dy?ydz=?2?32?1=

12.

7.有一质量为m的质点,除受重力的作用外,还受到一个大小等于该质点到原点的距离,方向指向原点的力f的作用,设该质点沿螺旋线L:x?cost,y?sint,z?t从点A(0,1,)2π移动到点B(1,0,0)移动到点,求重力与力f的合力所作的功. 解 依据题意,力f=?xi?yj?zk,故质点所受的合力 F?f?mgk??xi?yj?(z?mg)k 在螺旋线L上,起点A对应于t?因此,力F所作的功 W?π2,终点B对应于t?0,即t:π2?0.

?L0?xdx?ydy?(z?m)gd z =?π[?cost(?sint)?sintcost?(t?mg)]dt

2π =?2(t?mg)dt=

0π28?π2mg.

第三节 格林公式

1.设xOy平面上闭曲线L所围成的闭区域为D,将给定的二重积分与其相应的曲线积分用线连接起来. (1)

??dxdy (a) ?DLxdy?ydx

(2) 2??dxdy (b)

D1?2Lxdx?xdy

(3)???dxdy (c)D1?2Lxdy?ydx

32.利用曲线积分计算星形线x?acost,y?asint所 围成图形的面积.

?x?acos3t解 如图10.4，因为? t由0到2?. 3?x?asint3从而

S=??d?=

D图 10.4

12?Lxdy?ydx

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