1.4.2正弦函数、余弦函数的性质 教案(人教A版必修4)(3)

π

求函数y＝2cos(－x)的单调递增区间．

4

πππ3π

【解】 y＝2cos(－x)＝2cos(x－)，由2kπ－π≤x－≤2kπ(k∈Z)得2kπ－π≤x≤2kπ＋(k∈Z)．

44444π3π

∴y＝2cos(－x)的单调递增区间为[2kπ－π，2kπ＋](k∈Z).

444

类型4 有关三角函数的最值问题 31例4 已知函数y1＝a－bcos x的最大值是，最小值是－，求函数y＝－4asin 3bx的最大值．

22

【思路探究】 欲求函数y的最大值，须先求出a，为此可利用函数y1的最大、最小值，结合分类讨论求解． 31

【自主解答】 ∵函数y1的最大值是，最小值是－.

22

?

当b>0时，由题意得?1

a－b＝－，?2

当b<0时，由题意得

3a＋b＝，2

1??a＝2，∴? ??b＝1.

?

?1a＋b＝－?2

3a－b＝

2

1??a＝2

，∴?.

??b＝－1

因此y＝－2sin 3x或y＝2sin 3x. 函数的最大值均为2. 规律方法

1．对于求形如y＝asin x＋b或y＝acos x＋b的函数值域问题，一般情况下只要注意到正、余弦函数的性质“有界性”即可解决．注意当x有具体范围限制时，需考虑sin x或cos x的范围．

2．求解此类问题时，要先求三角函数值的范围，然后再根据其系数的正负性质求解． 变式训练

求函数y＝3－2cos x，x∈[－π4，π

4]的值域．

【解】 (1)∵－ππ

4≤x≤4，

∴

2

2

≤cos x≤1， ∴－1≤－cos x≤－

22

， ∴－2≤－2cos x≤－2， ∴1≤3－2cos x≤3－2.

故函数y＝3－2cos x，x∈[－ππ

4，4]的值域为[1,3－2]．

易错易误辨析

典例 求函数y＝1－2cos2x＋5sin x的最大值和最小值．【错解】 y＝1－2cos2 x＋5sin x ＝2sin2 x＋5sin x－1

忽略弦函数值域的有界性致误

53333

＝2(sin x＋)2－≥－，

488

33

∴函数y＝1－2cos2x＋5sin x的最小值为－，没有最大值．

8

【错因分析】 根据正弦函数的图象，可以发现sin x的值介于[－1,1]之间，上述解答错误地将sin x的范围当成了实数集R，所以本题中的以sin x为自变量的二次函数的定义域不是R，而是[－1,1]．

【防范措施】 定义域是函数的三要素之一，研究函数的性质一般要先考虑函数的定义域，三角函数也不例外，若忽略定义域这一细节，可能扩大自变量的取值范围而导致错误．

【正解】 y＝1－2cos2x＋5sin x 533

＝2sin2x＋5sin x－1＝2(sin x＋)2－.

48533

令sin x＝t，则t∈[－1,1]，则y＝2(t＋)2－. 48

因为函数y在[－1,1]上是增函数，所以当t＝sin x＝－1时，函数取得最小值－4，当t＝sin x＝1时，函数取得最大值6.

课堂小结

1．三角函数的最值、单调区间及三角函数值的大小比较等问题，能结合图象时一定要联系图象进行综合思考，将数形有机结合起来． 2．讨论对称问题时一定要注意最值点、平衡点及周期的必然联系，形成思维网络． 3．讨论三角函数的所有性质，都要在其定义域内进行．

当堂双基达标

1．下列函数中，最小正周期为π的是( ) A．y＝sin x B．y＝cos x

C．y＝sinx

2

【解析】 由T＝2π

|ω|知D中函数的最小正周期为π.

【答案】 D

2．下列函数是奇函数的是( ) A．y＝x2 B．y＝cos x C．y＝sin x

【解析】 由奇函数定义知y＝sin x为奇函数． 【答案】 C

3．函数y＝cos x(0≤x≤π

3)的值域是( )

A．[－1,1] B．[1

2，1]

C．[0，1

2

]

D．[－1,0]

【解析】 y＝cos x在[0，π

3]上单调递减，

∴cos π3≤y≤cos 0，即1

2≤y≤1.

【答案】 B

4．求函数y＝2sin(π

4

－x)在[－π，π]上的减区间．

D．y＝cos 2x

D．y＝|sin x|

ππ

【解】 y＝2sin(－x)＝－2sin(x－)．

44

π

令z＝x－，只需求y＝－2sin z的减区间，即求sin z的增区间．

4由2kπ－π2≤x－π4≤2kπ＋π

2，k∈Z，

∴2kπ－π4≤x≤2kπ＋3

4π，k∈Z.

又－π≤x≤π，

令k＝0，则－π4≤x≤3

4

π，

∴所求函数在[－π，π]上的减区间是[－π3

4，4

π].

一、选择题

1．正弦函数y＝sin x，x∈R的图象的一条对称轴是( ) A．y轴 B．x轴 C．直线x＝π

2

D．直线x＝π

【解析】 当x＝π2时，y取最大值，∴x＝π

2是一条对称轴．【答案】 C

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