1.4.2正弦函数、余弦函数的性质 教案(人教A版必修4)(2)

处 对称轴 对称中心 πx＝kπ＋(k∈Z) 2(kπ，0)，(k∈Z) πx＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1； 2πx＝2kπ－(k∈Z)时， 2ymin＝－1 类型1 x＝kπ(k∈Z) π(kπ＋，0) 2(k∈Z) 最值 x＝2kπ时，ymax＝1；x＝2kπ＋π时，ymin＝－1 求三角函数的周期 例1 求下列函数的最小正周期： π

(1)y＝sin(x＋3)；(2)y＝|cos x|.

2

π

【思路探究】 解答本题(1)可利用代换z＝x＋3，将求原来函数的周期转化为求y＝sin z的周期再求解，或利用公式求解；(2)可通过图象求周期．

2π

【自主解答】 (1)法一 令z＝x＋3，且y＝sin z的最小正周期为2π.

2ππ

∴sin(x＋3＋2π)＝sin[(x＋4)＋3]，

22ππ

因此sin(x＋3)＝sin[(x＋4)＋3]．

22

π

∴由周期函数定义，T＝4是y＝sin(x＋3)的最小正周期．

2

π2π

法二 f(x)＝sin(x＋3)的周期T＝＝4.

2π

2(2)作y＝|cos x|的图象，如图所示：

由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π. 规律方法

1．正弦函数、余弦函数的周期性，实质上是由终边相同角所具有的周期性决定的．

2π

2．对于形如y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，且ω≠0)函数的周期求法常直接利用T＝来求解；形如y＝|Asin ωx|或y＝|Acos ωx|

|ω|的周期常结合函数的图象，观察求解．

互动探究

若把例题中两个函数改为： 1π(1)y＝cos(2x－)；

33

(2)y＝cos|x|，试求函数的最小正周期．

1π

【解】 (1)∵y＝cos(2x－)中，ω＝2，

33∴函数的最小正周期为T＝(2)∵y＝cos|x|＝cos x， ∴y＝cos|x|的最小正周期T＝2π.

类型2 例2 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝2sin 2x； 3x3π

(2)f(x)＝sin(＋)；

42

(3)f(x)＝1－cos x＋cos x－1.

【思路探究】 首先求出函数定义域，在定义域关于原点对称的前提下，根据f(－x)与f(x)及－f(x)的关系来判断． 【自主解答】 (1)显然x∈R，

f(－x)＝2sin(－2x)＝－2sin 2x＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数．

3x3π3x

(2)∵x∈R，f(x)＝sin(＋)＝－cos，

4243?－x?3x

∴f(－x)＝－cos＝－cos＝f(x)，

443x3π

∴函数f(x)＝sin(＋)是偶函数．

42

三角函数的奇偶性的判断 2π＝π. 2

??1－cos x≥0(3)由?，得cos x＝1，∴x＝2kπ(k∈Z)，

?cos x－1≥0?

此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数． 规律方法

1．判断函数奇偶性要按函数奇偶性的定义，定义域关于原点对称是函数是奇函数或偶函数的前提． 2．要注意诱导公式在判断f(x)与f(－x)之间关系时的作用． 变式训练

判断下列函数的奇偶性： 5

(1)f(x)＝2sin(2x＋π)；

2(2)f(x)＝lg(sin x＋1＋sin2x)．

5π

【解】 (1)函数的定义域为R，f(x)＝2sin(2x＋π)＝2sin(2x＋)＝2cos 2x，显然有f(－x)＝f(x)成立．

225

∴f(x)＝2sin(2x＋π)为偶函数．

2(2)函数定义域为R， f(－x)＝lg(－sin x＋1＋sin2x) ＝lg

1

sin x＋1＋sin2x

＝－lg(sin x＋1＋sin2x)＝－f(x)．

∴函数f(x)＝lg(sin x＋1＋sin2x)为奇函数．

类型3 π

例3 求函数y＝sin(－x)的单调递减区间．

6

πππ

【思路探究】 本题中自变量的系数为负，故首先利用诱导公式，将y＝sin(－x)化为y＝－sin(x－)形式，故只需求y＝sin(x－)的单调递增区间即

666可．

ππ

【自主解答】 y＝sin(－x)＝－sin(x－)，

66

π

令z＝x－，则y＝－sin z，

6

要求y＝－sin z的递减区间，只需求sin z的递增区间，

ππ

即2kπ－≤z≤2kπ＋，k∈Z，

22πππ

∴2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z.

262π2

∴2kπ－≤x≤2kπ＋π，k∈Z.

33

ππ2

故函数y＝sin(－x)的单调递减区间为[2kπ－，2kπ＋π]，k∈Z.

633

规律方法

1．求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或形如y＝Acos(ωx＋φ)＋b(其中A≠0，w>0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间，通过解不等式求得．

2．具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；②在A>0，ω>0时，将“ωx＋φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0，ω>0时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间．

变式训练

求正、余弦函数的单调区间

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