1.4.2正弦函数、余弦函数的性质 教案(人教A版必修4)

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质

●三维目标 1．知识与技能

(1)理解周期函数、周期函数的周期和最小正周期的定义．

(2)掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期． 2．过程与方法

让学生通过观察正、余弦线以及正、余弦函数图象得出正、余弦函数的周期性，并借助于诱导公式一给予代数论证这一过程，使学生学会由具体形象到抽象概括这一研究问题的方法．

3．情感，态度与价值观

让学生自己探究学习正、余弦函数的图象性质，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图象所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣． ●重点、难点

重点：正弦函数、余弦函数的图象及其主要性质(包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域)；深化研究函数性质的思想方法． 难点：正弦函数和余弦函数的周期性，以及周期函数、(最小正)周期的意义． ●教学建议

对于函数性质的研究，学生已经有些经验．其中，通过观察函数的图象，从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法，这也是数形结合思想的应用．由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质，那么它的性质也就是完全清楚了，因此，教科书把对周期性的研究放在了首位．另外，要使学生明白研究三角函数性质就是“要研究这类函数具有的共同特点”，这是对数学思考方向的一种引导．

1．周期性

可引导学生从正、余弦线，正、余弦函数图象以及诱导公式一即形与数两个方面，归纳总结“周而复始”的变化规律，给出“周期性”概念．关于

正弦函数、余弦函数的周期与最小正周期，一般只要弄清定义，并根据正弦、余弦曲线观察出结果就可以了．对于学有余力的学生，可以让他们尝试证明正弦、余弦函数的最小正周期是2π.

2．其他性质

与研究周期性的方法一样，根据正弦函数、余弦函数图象及函数解析式，同样可以直观地看出这两个函数的奇偶性、单调性、最大(小)值等性质．值得注意的是，对于周期函数性质的讨论，只要认识清楚它在一个周期内的性质，就可以得到它在整个定义域内的性质．

(1)正弦函数、余弦函数的奇偶性，无论是由图象观察，还是由诱导公式进行证明，都很容易．所以，这一性质的研究可以交给学生自主完成． (2)正弦函数、余弦函数的单调性，只要求由图象观察，不要求证明．教学中要注意引导学生根据函数图象以及《数学1》中给出的增(减)函数定义进行描述．具体的，可以先选择一个恰当的区间(这个区间长为一个周期，且仅有一个单增区间和一个单减区间)，对正弦函数在这个区间上的单调性进行描述；然后利用正弦函数的周期性说明在其他区间上的单调性．对于余弦函数的单调性，可让学生类比正弦函数的单调性自己描述．另外，从一个周期的区间推广到整个定义域上去时，学生会有些不习惯，教学中要留给学生一定的思考时间，由他们自己归纳出正弦函数、余弦函数的单调区间的一般形式．

正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论．由于问题比较简单，所以可以由学生自己去研究．同样的，对于取最大(小)值时的自变量x的一般形式，也要注意引导学生利用周期性进行正确归纳．

●教学流程

1.掌握y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值．(重点) 课标解读 2．会用正弦函数、余弦函数的性质解决一些简单的三角函数问题．(难点) 3．了解周期函数、周期、最小正周期的含义．(易混点)

知识点1 【问题导思】

函数的周期性 1．观察下列实例：

(1)海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次．

(2)钟表上的时针每经过12小时运行一周，分针每经过1小时运行一周，秒针每经过1分钟运行一周． 上述两种现象，具有怎样的属性？ 【提示】 周而复始，重复出现．

2．观察正弦曲线和余弦曲线，正弦函数和余弦函数具有上述规律吗？哪个公式可以反映这种规律？ 【提示】 具有．sin(x＋2kπ)＝sin x，cos(x＋2kπ)＝cos x. 1．函数的周期性

(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．

(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期． 2．两种特殊的周期函数

(1)正弦函数y＝sin x是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π. (2)余弦函数y＝cos x是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.

知识点2 【问题导思】

对于x∈R，sin(－x)＝－sin x，cos(－x)＝cos x，这说明正、余弦函数具备怎样的性质？ 【提示】 奇偶性．

1．对于y＝sin x，x∈R恒有sin(－x)＝－sin x，所以正弦函数y＝sin x是奇函数，正弦曲线关于原点对称．

正、余弦函数的奇偶性 2．对于y＝cos x，x∈R恒有cos(－x)＝cos x，所以余弦函数y＝cos x是偶函数，余弦曲线关于y轴对称．

知识点3 【问题导思】

观察正弦函数、余弦函数的图象：

正、余弦函数的定义域、值域和单调性

1．正弦函数、余弦函数的定义域各是什么？ 【提示】 R

2．正弦函数、余弦函数的值域各是什么？ 【提示】 [－1,1]．

π3π

3．正弦函数在[－，]上函数值的变化有什么特点？余弦函数在[0,2π]上函数值的变化有什么特点？

22

πππ3π

【提示】 y＝sin x在[－，]上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值y由－1增大到1；在[，]上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值y由1减小

2222到－1；

y＝cos x在[0，π]上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值由1减小到－1；在[π，2π]上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值由－1增大到1.

函数名称图象与性质性质分类 相 同 处 不 同 定义域 值域 周期性 R [－1,1] 最小正周期为2π R [－1,1] 最小正周期为2π y＝sin x y＝cos x 图象 奇偶性 单调性 奇函数 πππ3在[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)上是增函数；在[2kπ＋，2kπ＋π](k2222∈Z)上是减函数 偶函数 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增函数；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上减函数

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