2012数学备考 高考真题 模拟新题分类汇编：选修4系列(5)

为3.

课标文数15.[2011·陕西卷] N4A.(不等式选做题)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．

图1－7

N1B.(几何证明选做题)如图1－7，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则AE＝________.

N3C.(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴

?x＝3＋cosθ，?

建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：?(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则

?y＝sinθ?

|AB|的最小值为________．

课标文数15A.N4[2011·陕西卷] (－∞，3] 【解析】 由绝对值的几何意义得|x＋1|＋|x－2|≥3，要使得|x＋1|＋|x－2|≥a恒成立，则a≤3，即a∈(－∞，3]．

课标文数15B.N1[2011·陕西卷] 2 【解析】 根据图形由∠ACD＝90°，∠B＝∠D，得A，B，C，D四点共圆，连接BD，则∠DBA＝90°，AB＝6，AD＝12，所以∠BDA＝30°＝∠BCA.

1

因为AE⊥BC，AE＝AC＝2.

2

?x＝3＋cosθ，??课标文数15C.N3[2011·陕西卷] 1 【解析】 由C1：消参得(x－3)2＋y2＝1，??y＝sinθ

由C2：ρ＝1得x2＋y2＝1，两圆圆心距为3，两圆半径都为1，故|AB|≥1，最小值为1.

课标数学21.[2011·江苏卷]

【选做题】 本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

答．若多做，则按作答的前两题评分． ．．

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

图1－7

N1 A．选修4－1：几何证明选讲

如图1－7，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1>r2)．圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)．求证：AB∶AC为定值．

N2 B．选修4－2：矩阵与变换

?1 1?，向量β＝?1?.求向量α，使得A2α＝β.

已知矩阵A＝????

?2 1??2?

N3 C．选修4－4：坐标系与参数方程

?x＝5cosφ，?

在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆?(φ为参数)的右焦点，且与直线

?y＝3sinφ?

??x＝4－2t，

?(t为参数)平行的直线的普通方程． ?y＝3－t?

N4 D．选修4－5：不等式选讲 解不等式x＋|2x－1|<3. 课标数学21.[2011·江苏卷] N1 A．选修4－1：几何证明选讲 本题主要考查两圆内切、相似比等基础知识，考查推理论证能力．

【解答】 证明：连结AO1，并延长分别交两圆于点E和点D.连结BD，CE.

因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上，故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径．

π

从而∠ABD＝∠ACE＝，所以BD∥CE，

2

ABAD2r1r1于是＝＝＝. ACAE2r2r2

所以AB∶AC为定值．

N2 B．选修4－2：矩阵与变换 本题主要考查矩阵运算等基础知识，考查运算求 解能力．

?1 1??1 1?＝?3 2?.

【解答】 A2＝??????

?2 1??2 1??4 3?

?x?3 2??x??1??3x＋2y＝1，??2

设α＝??.由Aα＝β，得? ???＝??，从而?

?y??4 3??y??2??4x＋3y＝2.?

?－1?

解得x＝－1，y＝2，所以α＝??.

?2?

N3 C．选修4－4：坐标系与参数方程 本题主要考查椭圆及直线的参数方程等基础知识，考查转化问题的能力．

【解答】 由题设知，椭圆的长半轴长a＝5，短半轴长b＝3，从而c＝a2－b2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x－2y＋2＝0.

11

故所求直线的斜率为，因此其方程为y＝(x－4)，即x－2y－4＝0.

22

N4 D．选修4－5：不等式选讲 本题主要考查解绝对值不等式的基础知识，考查分类讨论、运算求解能力．

【解答】 原不等式可化为 ???2x－1≥0，?2x－1<0，?或? ?x＋?2x－1?<3?x－?2x－1?<3.??

141解得≤x<或－2

232

?4?

－2

课标文数10.N5[2011·湖南卷] 已知某试验范围为[10,90]，若用分数法进行4次优选试验，则第二次试点可以是________．

课标文数10.N5[2011·湖南卷] 40或60 【解析】 因为试验的范围为：[10,90]可以将其分

12358Fn成10,20,30，?90把试验范围分成8格，此时可用斐波那契数列：，，，，，?，，?

235813Fn＋1

来解题，

5

所以有第一试点：x1＝10＋×(90－10)＝60, 第二试点用“加两头，减中间”的方法可得

8

到：x2＝10＋90－60＝40，故第二个试点可以是： 40或60.

[2011·南通模拟] 如图K49－3，已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到直线AC的距离为22，AB＝3，则AD的长为( )

A.7 B．213 C.15 D．56

1??

?，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为a1＝??，属

?1?d?

? 3?

于特征值1的一个特征向量为a2＝??，则矩阵A的逆矩阵为( )

?－2?

2173 － －3232A. B.

1111－ － 32325121 3232C. D.

1111－ 32323 ?[2011·广州模拟] 已知矩阵A＝?

?c

3?

??????

??????

??????

??????

[2011·深圳调研] 在极坐标系中，设P是直线l：ρ(cosθ＋sinθ)＝4上任一点，Q是圆C：ρ2

＝4ρcosθ－3上任一点，则|PQ|的最小值是__________．

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