2012数学备考 高考真题 模拟新题分类汇编：选修4系列

选修4系列(高考真题+模拟新题)

课标理数5.N1[2011·北京卷] 如图1－2，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.

图1－2

给出下列三个结论：

①AD＋AE＝AB＋BC＋CA； ②AF·AG＝AD·AE； ③△AFB∽△ADG.

其中正确结论的序号是( ) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 课标理数5.N1[2011·北京卷] A 【解析】 因为AD、AE、BC分别与圆O切于点D、E、F，所以AD＝AE，BD＝BF，CF＝CE，又AD＝AB＋BD，所以AD＝AB＋BF，同理有AE＝CA＋FC.又BC＝BF＋FC，所以AD＋AE＝AB＋BC＋CA，故①正确；对②，由切割线定理有：AD2＝AF·AG，又AD＝AE，所以有AF·AG＝AD·AE成立；对③，很显然，∠ABF≠∠AGD，所以③不正确，故应选A.

图1－2

课标理数15.N1[2011·广东卷] (几何证明选讲选做题)如图1－2，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB＝7，C是圆上一点使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝________.

课标理数15.N1[2011·广东卷] 35 【解析】 因为PA为圆O切线，所以∠PAB＝∠ACB，又∠APB＝∠BAC，

PBAB

所以△PAB∽△ACB，所以＝，所以AB2＝PB·CB＝35，所以AB＝35.

ABCB

课标文数15.N1[2011·广东卷] (几何证明选讲选做题)如图1－3，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，

图1－3

E、F分别为AD、BC上点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________．

课标文数15.N1[2011·广东卷] 7∶5

图1－4

DC2

【解析】 图1－4延长AD与BC交于H点，由于DC∥EF∥AB，又＝，

AB4

S△HDC4S△EFH9所以＝，同理＝，所以S△HDC∶S梯形DEFC∶S梯形EFBA＝4∶5∶7，

S△HAB16S△HAB16

所以梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为7∶5.

图1－2

课标理数11.N1[2011·湖南卷] 如图1－2，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________．

23

课标理数11.N1[2011·湖南卷] 【解析】 连结AO与AB，因为A，E是半圆上的三

3

等分点，所以∠ABO＝60°，∠EBO＝30°.

因为OA＝OB＝2，所以△ABO为等边三角形．又因为∠EBO＝30°，∠BAD＝30°，所以

23

F为△ABO的中心，易得AF＝. 3

课标理数22.N1[2011·课标全国卷]

图1－11

如图1－11，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合，已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根．

(1)证明：C，B，D，E四点共圆； (2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．

故AD＝2，AB＝12.

取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连结DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.

由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC，

1

从而HF＝AG＝5，DF＝(12－2)＝5，

2

故C，B，D，E四点所在圆的半径为52.

课标理数22.N1[2011·辽宁卷] 选修4－1：几何证明选讲

图1－11

如图1－11，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，EC＝ED.

(1)证明：CD∥AB；

(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆． 课标理数22.N1[2011·辽宁卷] 【解答】 (1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.

因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA，故∠ECD＝∠EBA，所以CD∥AB.

图1－12

(2)由(1)知，AE＝BE，因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC.从而∠FED＝∠GEC. 连结AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE. 又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA， 所以∠AFG＋∠GBA＝180°， 故A，B，G，F四点共圆．

课标文数22.N1[2011·辽宁卷] 如图1－10，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线

图1－10

与BC的延长线交于E点，且EC＝ED. (1)证明：CD∥AB；

(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆． 课标文数22.N1[2011·辽宁卷] 【解答】 (1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.

图1－11

因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA. 故∠ECD＝∠EBA. 所以CD∥AB.

(2)由(1)知，AE＝BE，因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC， 从而∠FED＝∠GEC.

连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE. 又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA. 所以∠AFG＋∠GBA＝180°. 故A，B，G，F四点共圆．

课标文数22.N1[2011·课标全国卷] 如图1－10，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．

图1－10

已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根．

(1)证明：C，B，D，E四点共圆； (2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径． 课标文数22.N1[2011·课标全国卷]

图1－11

【解答】 (1)证明：连结DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB＝mn＝AE×AC， ADAE

即＝，又∠DAE＝∠CAB ，从而△ADE∽△ACB. ACAB

因此∠ADE＝∠ACB，

即∠ACB与∠EDB互补，所以∠CED与∠DBC互补， 所以C，B，D，E四点共圆．

(2)m＝4，n＝6时，方程x2－14x＋mn＝0的两根为x1＝2，x2＝12. 故AD＝2，AB＝12.

取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连结DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.

1

由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC，从而HF＝AG＝5，DF＝(12－2)＝5.

2

故C，B，D，E四点所在圆的半径为52.

课标理数15.[2011·陕西卷] (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)

N4A.(不等式选做题)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是____________．

图1－5

N1B.(几何证明选做题)如图1－5，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________.

N3C.(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴

??x＝3＋cosθ，

建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：?(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则

?y＝4＋sinθ?

|AB|的最小值为________．

课标理数15.(1)N4[2011·陕西卷] a≥3或a≤－3

【解析】 令t＝|x＋1|＋|x－2|得t的最小值为3，即有|a|≥3，解得a≥3或a≤－3. 课标理数15.(2)N1[2011·陕西卷] 42 【解析】 在Rt△ADC中，CD＝82；在Rt△ADC

ABBEAB

与Rt△ABE中，∠B＝∠D，所以△ADC∽△ABE，故＝，BE＝×CD＝42.

ADCDAD

??x＝3＋cosθ，

课标理数15.(3)N3[2011·陕西卷] 3 【解析】 由C1：?消参得(x－3)2＋(y

?y＝4＋sinθ?

－4)2＝1；由C2：ρ＝1得x2＋y2＝1，两圆圆心距为5，两圆半径都为1，故|AB|≥3，最小值为3.

课标文数15.[2011·陕西卷] N4A.(不等式选做题)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．

图1－7

N1B.(几何证明选做题)如图1－7，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则AE＝________.

N3C.(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴

??x＝3＋cosθ，

建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：?(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则

?y＝sinθ?

|AB|的最小值为________．

课标文数15A.N4[2011·陕西卷] (－∞，3] 【解析】 由绝对值的几何意义得|x＋1|＋|x－2|≥3，要使得|x＋1|＋|x－2|≥a恒成立，则a≤3，即a∈(－∞，3]．

课标文数15B.N1[2011·陕西卷] 2 【解析】 根据图形由∠ACD＝90°，∠B＝∠D，得A，B，C，D四点共圆，连接BD，则∠DBA＝90°，AB＝6，AD＝12，所以∠BDA＝30°＝∠BCA.

1

因为AE⊥BC，AE＝AC＝2.

2

??x＝3＋cosθ，?课标文数15C.N3[2011·陕西卷] 1 【解析】 由C1：消参得(x－3)2＋y2＝1，?y＝sinθ?

22

由C2：ρ＝1得x＋y＝1，两圆圆心距为3，两圆半径都为1，故|AB|≥1，最小值为1.

课标数学21.[2011·江苏卷]

【选做题】 本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

答．若多做，则按作答的前两题评分． ．．

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

图1－7

N1 A．选修4－1：几何证明选讲

如图1－7，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1>r2)．圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)．求证：AB∶AC为定值．

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