【选做题】 本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．若多做，则按作答的前两题评分． ．．
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
图1－7
N1 A．选修4－1：几何证明选讲
如图1－7，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1>r2)．圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)．求证：AB∶AC为定值．
N2 B．选修4－2：矩阵与变换
?1 1?，向量β＝?1?.求向量α，使得A2α＝β.
已知矩阵A＝????
?2 1??2?
N3 C．选修4－4：坐标系与参数方程
??x＝5cosφ，
在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆?(φ为参数)的右焦点，且与直线
?y＝3sinφ?
??x＝4－2t，
?(t为参数)平行的直线的普通方程． ?y＝3－t?
N4 D．选修4－5：不等式选讲
解不等式x＋|2x－1|<3. 课标数学21.[2011·江苏卷] N1 A．选修4－1：几何证明选讲 本题主要考查两圆内切、相似比等基础知识，考查推理论证能力．
【解答】 证明：连结AO1，并延长分别交两圆于点E和点D.连结BD，CE.
因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上，故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径．
π
从而∠ABD＝∠ACE＝，所以BD∥CE，
2
ABAD2r1r1
于是＝＝＝. ACAE2r2r2
所以AB∶AC为定值．
N2 B．选修4－2：矩阵与变换 本题主要考查矩阵运算等基础知识，考查运算求 解能力．
?1 1??1 1?＝?3 2?.
【解答】 A2＝??????
?2 1??2 1??4 3?
?x?3 2??x??1??3x＋2y＝1，??2
设α＝??.由Aα＝β，得? ???＝??，从而?
?y??4 3??y??2??4x＋3y＝2.?
?－1?
解得x＝－1，y＝2，所以α＝??.
?2?
N3 C．选修4－4：坐标系与参数方程 本题主要考查椭圆及直线的参数方程等基础知识，考查转化问题的能力．
【解答】 由题设知，椭圆的长半轴长a＝5，短半轴长b＝3，从而c＝a2－b2＝4，所以
右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x－2y＋2＝0.
11
故所求直线的斜率为，因此其方程为y＝(x－4)，即x－2y－4＝0.
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N4 D．选修4－5：不等式选讲 本题主要考查解绝对值不等式的基础知识，考查分类讨论、运算求解能力．
【解答】 原不等式可化为 ?2x－1≥0，?2x－1<0，???或? ???x＋?2x－1?<3?x－?2x－1?<3.
141解得≤x<或－2 232 ??4???－2 2 ??x＝8t， 课标理数11.N3[2011·天津卷] 已知抛物线C的参数方程为?(t为参数)．若斜率 ?y＝8t? 为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆(x－4)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r＝________. 2 ??x＝8t， 课标理数11.N3[2011·天津卷] 2 【解析】 由抛物线的参数方程? 消去t，得 ?y＝8t，? y2＝8x，∴焦点坐标为(2,0)． ∴直线l的方程为y＝x－2. 又∵直线l与圆(x－4)2＋y2＝r2相切， |4－2|∴r＝22＝2. 1＋1 课标理数21.[2011·福建卷] N2(1)选修4－2：矩阵与变换 a 0? 设矩阵M＝??0 b?(其中a>0，b>0)． － ①若a＝2，b＝3，求矩阵M的逆矩阵M1； x2222 ②若曲线C：x＋y＝1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：＋y＝1，求 4 a，b的值． N3(2)坐标系选修4－4：坐标系与参数方程 ?x＝3cosα， 在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为? ?y＝sinα (α为参数)． ①已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正 π 4，?，判断点P与直线l的位置关系； 半轴为极轴)中，点P的极坐标为??2?②设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值． N4(3)选修4－5：不等式选讲 设不等式|2x－1|<1的解集为M. ①求集合M； ②若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小． x1 y1?－ 课标理数21.[2011·福建卷] 【解答】 N2(1)①设矩阵M的逆矩阵M1＝??x2 y2?，则MM1 0?－1 ＝??0 1?. 2 0??2 0??x1 y1?＝?1 0?. 又M＝?，所以?0 3??0 3??x2 y2??0 1? 11 所以2x1＝1,2y1＝0,3x2＝0,3y2＝1，即x1＝，y1＝0，x2＝0，y2＝. 23 －1 故所求的逆矩阵M＝错误!. ②设曲线C上任意一点P(x，y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P′(x′，y′)． ?ax＝x′?a 0??x??x′??则?＝，即 ?0 b??y??y′??by＝y′.? x′2 又点P′(x′，y′)在曲线C′上，所以＋y′2＝1. 4 22ax则＋b2y2＝1为曲线C的方程． 4 2?a＝4，?22 ?又已知曲线C的方程为x＋y＝1，故2 ?b＝1.? ??a＝2， 又a>0，b>0，所以? ?b＝1.? π 4，?化为直角坐标， N3(2)①把极坐标系下的点P??2?得P(0,4)． 因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上． ②因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(3cosα，sinα)， 从而点Q到直线l的距离为 πα＋?＋42cos??6?|3cosα－sinα＋4| d＝＝ 22π α＋?＋22. ＝2cos??6?π α＋?＝－1时，d取得最小值，且最小值为2. 由此得，当cos??6?N4(3)①由|2x－1|<1得－1<2x－1<1，解得0 ②由①和a，b∈M可知00. 故ab＋1>a＋b. 11 x2＋2??2＋4y2?的最小值课标理数10.N4，E6[2011·湖南卷] 设x，y∈R，且xy≠0，则?y??x?? 为________． 1?x2＋12??12＋4y2?＝1＋4x2y2＋2课标理数10.N4，E6[2011·湖南卷] 9 【解析】 方法一：y??x??xy211 ＋4≥5＋24x2y2×22＝9，当且仅当4x2y2＝22时，“＝”成立． xyxy 122?x2＋12??12＋4y2?≥?x×1＋1×2y?2＝9，方法二：利用柯西不等式：当且仅当4xy＝22时，y??x???xy?xy 等号成立． 课标理数15.N4[2011·江西卷] (2)(不等式选做题)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________． 课标理数15.N4[2011·江西卷] 【答案】 5 【解析】|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，当x＝0，y＝3时，|x－2y＋1|取得最大值5. 课标文数15.N4[2011·江西卷] 对于x∈R，不等式|x＋10|－|x－2|≥8的解集为________． 课标文数15.N4[2011·江西卷] [0，＋∞) 【解析】 由题意可得 ?x≤－10，?－10 课标理数24.N4[2011·课标全国卷] 设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a＞0. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集； (2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值． 课标理数24.N4[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2. 由此可得x≥3或x≤－1. 故不等式f(x)≥3x＋2的解集为 {x|x≥3或x≤－1}． (2)由f(x)≤0得 |x－a|＋3x≤0. 此不等式可化为不等式组 ?x≥a，?x x≥a，x x≤x≤－.??2?4? ?a? x≤－?. 因为a＞0，所以不等式组的解集为?x?2??? a 由题设可得－＝－1，故a＝2. 2 课标理数24.N4[2011·辽宁卷] 选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|. (1)证明：－3≤f(x)≤3； (2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集． －3， x≤2，?? 课标理数24.N4[2011·辽宁卷] 【解答】 (1)f(x)＝|x－2|－|x－5|＝?2x－7， 2＜x＜5， ??3， x≥5.当2＜x＜5时，－3＜2x－7＜3. 所以－3≤f(x)≤3. (2)由(1)可知， 当x≤2时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为空集； 当2＜x＜5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－3≤x＜5}； 当x≥5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5≤x≤6}． 综上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－3≤x≤6}． 课标文数24.N4[2011·辽宁卷] 已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|. (1)证明：－3≤f(x)≤3； (2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集． 课标文数24.N4[2011·辽宁卷] 【解答】 －3， x≤2，?? (1)f(x)＝|x－2|－|x－5|＝?2x－7， 2＜x＜5， ??3， x≥5. 当2＜x＜5时，－3＜2x－7＜3. 所以－3≤f(x)≤3. (2)由(1)可知， 当x≤2时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为空集； 当2＜x＜5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－3≤x＜5}； 当x≥5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5≤x≤6}． 综上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－3≤x≤6}． 课标文数24.N4[2011·课标全国卷] 设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集； (2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值． 课标文数24.N4[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2. 由此可得x≥3或x≤－1， 故不等式f(x)≥3x＋2的解集为 {x|x≥3或x≤－1}． (2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0. 此不等式可化为不等式组 ???x≥a，?x x≥a，x x≤x≤－.??2?4? a?? x≤－?. 因为a>0，所以不等式组的解集为?x?2??? a 由题设可得－＝－1，故a＝2. 2 课标理数15.[2011·陕西卷] (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分) N4A.(不等式选做题)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是____________． 图1－5 N1B.(几何证明选做题)如图1－5，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________. N3C.(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴 ??x＝3＋cosθ， 建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：?(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则 ?y＝4＋sinθ? |AB|的最小值为________． 课标理数15.(1)N4[2011·陕西卷] a≥3或a≤－3 【解析】 令t＝|x＋1|＋|x－2|得t的最小值为3，即有|a|≥3，解得a≥3或a≤－3. 课标理数15.(2)N1[2011·陕西卷] 42 【解析】 在Rt△ADC中，CD＝82；在Rt△ADC ABBEAB 与Rt△ABE中，∠B＝∠D，所以△ADC∽△ABE，故＝，BE＝×CD＝42. ADCDAD ??x＝3＋cosθ， 课标理数15.(3)N3[2011·陕西卷] 3 【解析】 由C1：?消参得(x－3)2＋(y ?y＝4＋sinθ? －4)2＝1；由C2：ρ＝1得x2＋y2＝1，两圆圆心距为5，两圆半径都为1，故|AB|≥3，最小值 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库2012数学备考 高考真题 模拟新题分类汇编：选修4系列(4)在线全文阅读。
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