2012数学备考 高考真题 模拟新题分类汇编：选修4系列(3)

①已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正

π

4，?，判断点P与直线l的位置关系； 半轴为极轴)中，点P的极坐标为??2?②设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值． N4(3)选修4－5：不等式选讲 设不等式|2x－1|<1的解集为M. ①求集合M；

②若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．

x1 y1?－

课标理数21.[2011·福建卷] 【解答】 N2(1)①设矩阵M的逆矩阵M1＝??x2 y2?，则MM1 0?－1

＝??0 1?.

2 0??2 0??x1 y1?＝?1 0?. 又M＝?，所以?0 3??0 3??x2 y2??0 1?

11

所以2x1＝1,2y1＝0,3x2＝0,3y2＝1，即x1＝，y1＝0，x2＝0，y2＝. 23

－1

故所求的逆矩阵M＝错误!.

②设曲线C上任意一点P(x，y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P′(x′，y′)．

??ax＝x′a 0??x??x′??则?0 b??y?＝y′，即?

????by＝y′.

x′2

又点P′(x′，y′)在曲线C′上，所以＋y′2＝1.

4

22ax则＋b2y2＝1为曲线C的方程．

4

2?a＝4，?22

?又已知曲线C的方程为x＋y＝1，故2 ?b＝1.?

??a＝2，

又a>0，b>0，所以?

?b＝1.?

π

4，?化为直角坐标， N3(2)①把极坐标系下的点P??2?得P(0,4)．

因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上． ②因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(3cosα，sinα)， 从而点Q到直线l的距离为

πα＋?＋42cos??6?|3cosα－sinα＋4|

d＝＝ 22π

α＋?＋22. ＝2cos??6?π

α＋?＝－1时，d取得最小值，且最小值为2. 由此得，当cos??6?N4(3)①由|2x－1|<1得－1<2x－1<1，解得0

②由①和a，b∈M可知00. 故ab＋1>a＋b.

课标理数14.N3[2011·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为

5??x＝4t2?x＝5cosθ

(0≤θ<π)和?(t∈R)，它们的交点坐标为________． ?

y＝sinθ???y＝t

?x＝5cosθ，25??课标理数14.N3[2011·广东卷] 1， 【解析】 把参数方程?化为标准

5???y＝sinθ

5??x＝4t2，x22

方程得＋y＝1(y≥0)，把?5

??y＝t

4

化为标准方程得y＝x(x>0)，联立方程

5

2

??4?y＝5x，

2

x22

＋y＝1，5

得x＝1或x＝－5(舍去)，

4252525?

把x＝1代入y2＝x得y＝或y＝－(舍去)，所以交点坐标为?1，.

5555??

??x＝cosα，

课标理数9.N3[2011·湖南卷] 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?(α

?y＝1＋sinα?

为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0，则C1与C2的交点个数为________．

??x＝cosα，

课标理数9. N3[2011·湖南卷] 2 【解析】 曲线C1的参数方程?化为普通方程：

?y＝1＋sinα?

x2＋(y－1)2＝1，圆心为(0,1)，r＝1，曲线C2的方程为ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0化为普通方程：x－y＋1＝0，

则圆心在曲线C2上，直线与圆相交，故C1与C2的交点个数为2.

?x＝2cosα，

课标文数9.N3[2011·湖南卷] 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?(α

y＝3sinα?

为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0，则C1与C2的交点个数为________．

?x＝2cosα，

课标文数9.N3[2011·湖南卷] 2 【解析】 曲线C1的参数方程为?化为普通

?y＝3sinα，

x2y2

方程：＋＝1 ①，

43

曲线C2的方程为ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0化为普通方程：x－y＋1＝0 ②.

联立①，②得7x2＋8x－8＝0，此时Δ＝82－4×7×(－8)>0.故C1与C2的交点个数为2.

课标理数15.N3[2011·江西卷] (1)(坐标系与参数方程选做题)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．

课标理数15.N3[2011·江西卷] 【答案】 x2＋y2－4x－2y＝0

??x＝ρcosθxy

【解析】 (1)由? ?cosθ＝，sinθ＝，ρ2＝x2＋y2，代入ρ＝2sinθ＋4cosθ得，ρ

ρρ?y＝ρsinθ?

2y4x

＝＋?ρ2＝2y＋4x?x2＋y2－4x－2y＝0. ρρ

课标理数23.N3[2011·课标全国卷] 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为??x＝2cosα，?(α为参数) ?y＝2＋2sinα.?

→→

M是C1上的动点，P点满足OP＝2OM，P点的轨迹为曲线C2. (1)求C2的参数方程；

(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，

π

射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.

3

xy?

课标理数23.N3[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)设P(x，y)，则由条件知M??2，2?，由于M点在C1上，所以

x

＝2cosα，?2?x＝4cosα，

即?

y?y＝4＋4sinα.?＝2＋2sinα，2

???

从而C2的参数方程为 ??x＝4cosα，?(α为参数) ?y＝4＋4sinα.?

(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ.

ππ

射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin，

33ππ

射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin. 33

所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝23.

课标理数23.N3[2011·辽宁卷] 选修4－4：坐标系与参数方程

??x＝cosφ，

在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?(φ为参数)，曲线C2的参数

?y＝sinφ?

??x＝acosφ，

方程为?(a＞b＞0，φ为参数)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，

?y＝bsinφ?

π

射线l：θ＝α与C1，C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝时，这

2

两个交点重合．

(1)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；

ππ

(2)设当α＝时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α＝－时，l与C1，C2的交点分别

44

为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．

课标理数23.N3[2011·辽宁卷] 【解答】 (1)C1是圆，C2是椭圆． 当α＝0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)． 因为这两点间的距离为2，所以a＝3.

π

当α＝时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b)．

2

因为这两点重合，所以b＝1.

x2222

(2)C1，C2的普通方程分别为x＋y＝1和＋y＝1.

9

π2310当α＝时，射线l与C1交点A1的横坐标为x＝，与C2交点B1的横坐标为x′＝. 4210π

当α＝－时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称．因此四

4

?2x′＋2x??x′－x?2

边形A1A2B2B1为梯形，故四边形A1A2B2B1的面积为＝. 25

课标文数23.N3[2011·辽宁卷] 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为

???x＝cosφ，?x＝acosφ，?(φ为参数)，曲线C2的参数方程为?(a＞b＞0，φ为参数)．在以O为?y＝sinφ，?y＝bsinφ，??

极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α与C1，C2各有一个交点．当α＝0时，

π

这两个交点间的距离为2，当α＝时，这两个交点重合．

2

(1)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；

ππ

(2)设当α＝时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α＝－时，l与C1，C2的交点分别

44

为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．

课标文数23.N3[2011·辽宁卷] 【解答】 (1)C1是圆，C2是椭圆．

当α＝0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a＝3.

π

当α＝时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b)，因为这两点重合，所

2

以b＝1.

x2222

(2)C1，C2的普通方程分别为x＋y＝1和＋y＝1.

9

π2310当α＝时，射线l与C1交点A1的横坐标为x＝，与C2交点B1的横坐标为x′＝. 4210π

当α＝－时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四

4

边形A1A2B2B1为梯形．

?2x′＋2x??x′－x?2

故四边形A1A2B2B1的面积为＝.

25

课标文数23.N3[2011·课标全国卷] 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为??x＝2cosα，?(α为参数) ?y＝2＋2sinα.?

→→

M是C1上的动点，P点满足OP＝2OM，P点的轨迹为曲线C2. (1)求C2的参数方程；

π

(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点

3

为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.

xy?

课标文数23.N3[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)设P(x，y)，则由条件知M??2，2?，由于M点在C1上，所以

x

＝2cosα，?2?x＝4cosα，

即?

y?y＝4＋4sinα.?＝2＋2sinα，2

???

??x＝4cosα，

从而C2的参数方程为?(α为参数)

?y＝4＋4sinα，?

(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ.

ππ

射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin，

33ππ

射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin. 33

所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝23.

课标理数15.[2011·陕西卷] (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)

N4A.(不等式选做题)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是____________．

图1－5

N1B.(几何证明选做题)如图1－5，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________.

N3C.(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴

?x＝3＋cosθ，?

建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：?(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则

?y＝4＋sinθ?

|AB|的最小值为________．

课标理数15.(1)N4[2011·陕西卷] a≥3或a≤－3

【解析】 令t＝|x＋1|＋|x－2|得t的最小值为3，即有|a|≥3，解得a≥3或a≤－3. 课标理数15.(2)N1[2011·陕西卷] 42 【解析】 在Rt△ADC中，CD＝82；在Rt△ADC

ABBEAB

与Rt△ABE中，∠B＝∠D，所以△ADC∽△ABE，故＝，BE＝×CD＝42.

ADCDAD

??x＝3＋cosθ，

课标理数15.(3)N3[2011·陕西卷] 3 【解析】 由C1：?消参得(x－3)2＋(y

?y＝4＋sinθ?

222

－4)＝1；由C2：ρ＝1得x＋y＝1，两圆圆心距为5，两圆半径都为1，故|AB|≥3，最小值为3.

课标文数15.[2011·陕西卷] N4A.(不等式选做题)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．

图1－7

N1B.(几何证明选做题)如图1－7，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则AE＝________.

N3C.(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴

?x＝3＋cosθ，?

建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：?(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则

?y＝sinθ?

|AB|的最小值为________．

课标文数15A.N4[2011·陕西卷] (－∞，3] 【解析】 由绝对值的几何意义得|x＋1|＋|x－2|≥3，要使得|x＋1|＋|x－2|≥a恒成立，则a≤3，即a∈(－∞，3]．

课标文数15B.N1[2011·陕西卷] 2 【解析】 根据图形由∠ACD＝90°，∠B＝∠D，得A，B，C，D四点共圆，连接BD，则∠DBA＝90°，AB＝6，AD＝12，所以∠BDA＝30°＝∠BCA.

1

因为AE⊥BC，AE＝AC＝2.

2

??x＝3＋cosθ，?课标文数15C.N3[2011·陕西卷] 1 【解析】 由C1：消参得(x－3)2＋y2＝1，??y＝sinθ

由C2：ρ＝1得x2＋y2＝1，两圆圆心距为3，两圆半径都为1，故|AB|≥1，最小值为1.

课标数学21.[2011·江苏卷]

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