（A）?2(n?1) （B）N(0,1) （C）t(n?1) （D）t(n)
二、计算题：
1．设X~N(?,?2)，X1,X2,?,X10为简单随机样本，S2为样本方差，求： （1）若?2?4，求P(S?2.9)
2（2）若??4，??4，求P(X?6.5)
（3）若??4，S?2.5，求P(X?6.5)
(n?1)S42解：（1）~?(n?1)
2P(S?2.9)?P(?10?1?4S2?94?2.9)
2 ?P(?2(9)?18.922? 5)0.025X???/nX?42/10X?42/106.5?/24X?)?1?P(10/24.6?54?) 10/210 （2）?~N(0,1)
P(X?6.5)?P(? ?1??(
（3）
X??S/n?6.5?42/10 0)?1??(3.95)?X?42.5/10~t(n?1)?t(9)
P(X?6.5)?P(X?42.5/10?6.5?42.5/10)
?P(t(9)?3.16)2?.00 0 2．总体N(?,?)，在该总体中抽取一个容量为n =16的样本（X1,X2,?,Xn）。
236
求： （1）p{?22?1ni?(Xni?1ni??)?2?}； （2）p{22?22?1ni?(Xni?12?X)?2?}
22解：（1）p{?22?1(X?ni?1??)?2?}?p{22n2n??i?1(Xi??)?2?2n}
2?p(8??(16)?32)
?1?P{?2(16)?32}?P{(?2(16)?8}
?.0 9 ?1?0.01?.095（2）p{?22?1ni(X?ni?1?X)?2?}?p{22n2n??i?12(Xi?X)2?2?2n}
?p(8??(15)?32)
?1?P{?2(15)?32}?P{(?2(15)?8}
?.09?2.0 9 ?1?0.005
3．设X1,X2,?,X5是取自正态总体N(0,?2)的一个样本，试证： （1）当k?3232时，kXX1?X223?X242?X25~t(3)
（2）当k?时，k(X1?X2)X23?X24?X25~F(1,3)
证：（1）因为X1,X2,?,X5是取自正态总体N(0,?)的一个样本，
X1?X2?X3?222 ?~N(0,2)，?X4?22?X5?22~?(3) 且相互独立。由t分布的 定义，
X2?X?2k要使 kXX1?X223(X1?X?242?)252?X24?X25?(X?3232 服从t分布，
)/3??37
则有
k3(X1??X2?)~N(0,1)
由于
X1?k?X2?1~N(0,2) 而(X1??X2?32)/2~N(0,1)
所以
?， 解得 k?225?32。
32(X1?X2)X23 （2）要使 k?X24?X~F(1,3) （*）
由于
X1?X22?~N(0,1) 所以U?(X1?X22?)~?(1)，
22V?X3?22?X4?22?X5?22~?(3) 根据F分布的 定义
2F?U/1V/3(?X3?22X1?X22??X4?22)2?X5?22?/33(X1?X2)22222X3?X4?X532~F(1,3) （**）
比较 （*）和（**）式，解得 k?
第七章 参数估计（一）
一、选择题：
1．矩估计必然是 [ C ] （A）无偏估计 （B）总体矩的函数 （C）样本矩的函数 （D）极大似然估计 2．设
x1,x22是正态总体N(?,1)的容量为2的样本，?为未知参数，?的无偏估计是 [ D ]
43x21x1?24x23x1?14x22x1?35x2 （A）3x1? （B）4 （C）4 （D）5
3．设某钢珠直径X服从正态总体N(?,1)（单位：mm），其中
22?为未知参数，从刚生产的一大堆
S?0.98?钢珠抽出9个，求的样本均值x?31.06，样本方差9，则的极大似然估计值为 [ A ]
（A）31.06 （B）(31.06?0.98 , 31.06 + 0.98) （C）0.98 （D）9×31.06 二、填空题：
38
1．如果??1与??2都是总体未知参数?的估计量，称??1比??2有效，则??1与??2的期望与方差一定满
^^2^^足E?1?E???,D?1?D?2
2．设样本x1?0.5,x2?0.5,x3?0.2来自总体X~f(x,?)??x??1，用最大似然法估计参数?时，似然函数为L(?)? ?(0.05)3??1.
n?13．假设总体X服从正态分布N(?,?),X1,X2?,Xn(n?1)为X的样本，?12(n?1)22?C?(Xi?1?Xi)i?12是?2的一个无偏估计，则C? 三、计算题：
. 1．设总体X具有分布律，其中?(0???1)为未知参数，
Xpi122?(1??)3(1??)2?2
已知取得了样本值x1?1,x2?2,x3?1，试求?的最大似然估计值。 解：该样本的似然函数为L(?)??4?2?(1??)?2?5?2?6. 令L'(?)?0得??
?1?2． 设x1,x2,?,xn是来自于总体X~f(x)????0?0?x??其它56.
(??0)的样本,
?) 试求（1） ?的无偏估计?1；（2）?的极大似然估计?2，并计算E(?2解：(1) 由于X服从均匀分布，E(X)???2X. 令???2EX?2??? , 因为E?2?2， E(X)??2
故?的无偏估计为2X.
(2) 由于无法从L?(?)?0得到最大似然估计??，因而直接考虑按最大似然法的思想来确定??
39
欲使L(?)最大，?应尽量小但又不能太小，它必须满足??xii?1,2,3,?n 即 ??maxx{1x,2x,3?,nx } 否则L(?)?0，而0不可能是L(?)的最大值。因此，当??max{x1,x2,x3,?xn}时，
L(?)可达最大。???max{x1,x2,x3,?xn}即为?的最大似然估计值，
???max{X1,X2,X3,?Xn}即为?的最大似然估计量
?(??1)x?3．设总体X的概率密度为f(x)??0?0?x?1其它，其中???1是未知参数，X1,X2,?,Xn为一个样本，试求参数?的矩估计量和最大似然估计量。
1??1?, 解：因为 EX??x?(??1)xdx?0??2 用样本一阶原点矩作为总体一阶原点矩的估计，
即： X?EX???2X?1. , 得???21?X2X?11?X??1 故?的矩估计量为
n.
n 设似然函数L(?)??i?1(?)nl?n(?1?(?1x)i，即lnL???)??i?1ixl n 则
dlnL?(d?)?nn??1??i?1lnxi，令
dlnL(?)d??0，
40
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