同济大学版概率论与数理统计修改版答案2(7)

?xy?E(XY)?E(X)E(Y)?0

所以X与Y不相关。

1)?0.12≠5P(X??1)P(Y??1)?0.375?0.3 P(X??1,Y?? 7 所以X与Y不相互独立。

2．设解：

D(X)?25,D(Y)?36,?XY?0.4Cov(X,Y)??xy?D(X)，求：D(X?Y),D(X?Y)

D(Y)?0.4?5?6?12

D(X?Y)?D(X)?2Cov(X,Y)?D(Y)?85， D(X?Y)?D(X)?2Cov(X,Y)?D(Y)?37

3．设X~N(0,4),Y~U(0,4)，且X，Y相互独立，求：E(XY),D(X?Y),D(2X?3Y)

E(Y)?4?02?2解：E(X)?0,D(X)?4， E(XY)?0,

D(Y)?42，

12?43，?xy?0

D(X?Y)?D(X)?D(Y)?4?43?163,

D(2X?3Y)?4D(X)?9D(Y)?16?12?28

?2xfX(x)???04．设X，Y相互独立，其密度函数分别为

0?x?1其它?e?(y?5)fY(y)???0，

y?5y?5，求

E(XY)

E(X)?解：

E(Y)??10x?2xdx?2x33|0?123

5?y

???5y?e?(y?5)dy??ee(y?15)|?31

??

6

E(XY)?E(X)E(Y)?23?6?4

第五章 大数定律与中心极限定理

一、选择题：

1．设?n是n次重复试验中事件A出现的次数，p是事件A在每次试验中出现的概率，则对任意的??0均有limP{n???nn?p??} [ A ]

（A）?0 （B）?1 （C）?0 （D）不存在

2．设随机变量X，若E(X2)?1.1,D(X)?0.1，则一定有 [ B ] （A）P{?1?X?1}?0.9 （B）P{0?X?2}?0.9 （C）P{|X?1|?1}?0.9 （D）P{|X}?1}?0.1 3．

X1,X2,?,X1000是同分布相互独立的随机变量，

1000Xi~B(1,p)，则下列不正确的是 [ D ]

)??(a?1000p1000pq) （A）

?1000i?1100011000Xi?pP{a??i?1Xi?b}??(b?1000p1000pq （B）

1000 （C）

?i?1Xi~B(1000,p)P{a? （D）

?i?1Xi?b}??(b)??(a)

二、填空题：

E(X)?3,D(X)?.P{|X?3|?3}?25，则可知 225 1224 1．对于随机变量X，仅知其

2．设随机变量X和Y的数学期望分别为?2和2，方差分别为1和4，而相关系数为?0.5，则根据契比雪夫不等式P?X?Y?6?? 三、计算题：

1．设各零件的重量是同分布相互独立的随机变量，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？

解：设第i件零件的重量为随机变量Xi，根据题意得EXi?0.5,DX?0.1.

112.

32

50005000 E(?Xi)?5000?0.5?2500,D(?Xi)?5000?0.01?50.

i?1i?150005000P(?Xi?2510)?P(?i?1Xi?250050?1050)

i?1?1??(2)?1?0.9207?0.0793.

2．计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差是独立的且在 (?0.5,0.5上服从均匀分布。) （1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？ （2）最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90 ？

15001500 解：（1）X?U(?0.5,0.5),E(?Xi)?0,D(?Xi)?1500?i?1i?115001500112?125.

P(|?Xi|?15)?P(i?1?i?1Xi?15125125n)?2[1??(355)]?2[1??(1.3)]?0.18.

n （2）P(|?Xi|?10)?P(i?1|?Xi|i?1n12?10n12)?0.90??(10n12)?0.95.

根据?的单调性得10n12?1.645，故n?12?(101.645)?443.4.

2 所以n最多为443个数相加.

3．某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8，医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。

（1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？ （2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是多少？ 解：（1）令Xi?1为第i个病人治愈成功，反之则Xi?0.

33

100 令Y??Xi?1i,Y?B(100,0.8),E(Y)?80,D(Y)?16.

Y?807?5805 P(Y?75?)P(??)?(?)41616 944.0.8 （2）令Xi?1为第i个病人治愈成功，反之则Xi?0.

100令Y??Xi?1i,Y?B(100,0.7),E(Y)?70,D(Y)?21.

P(Y?75)?P(Y?7021?75?7021)?1??(521)?0.1379.

4．一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1元、1.2元、1.5元各个值的概率分别为0.3、0.2、0.5。某天售出300只蛋糕。 （1）求收入至少400元的概率；

（2）求售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率。 解：（1）设Xi (i=1,2,3?,300)为蛋糕的价格，其分布律为:

XP10.31.20.21.50.5

E(Xi)?1?0.3?1.2?0.2?1.5?0.5?1.29? D(Xi)?1?0.3?1.44300(i?1,2,3,?300)

20.2?.22?5.0?5(.1)2?9.264i09(??,,1,2 3)300记X??Xi?1i

?X?300?1.29400?300?1.29P(X?400)?P??3002.6409?3002.6409?? ? ?1?P??X?300?.129??300.264094?00?30.0?129?

30.02?6409 ?1?? (0.462)?1?0.6772?0.3228

记Y为售出蛋糕的价格为1.2元的数量，则Y~B(300,0.2) P(Y?60)?1?P(Y?60 )34

?1?P???Y?300?.02?300?.0?2.086?0?02?

3?0.0?0.2?083?0.0 ?1??(0)?0. 5第六章 样本及其分布

一、选择题： 1．

x1,x2,x3是取自总体X的样本，a是一未知参数，则统计量是 [ B ]

13i （A）

x1?ax2?x3 （B）

x1x3 （C）

1niax1x2x3 （D）

?(x3i?1?a)2

2．x1,x2,?,xn是取自总体X的样本，则

?(xni?12?x)是 [ C ]

（A）样本矩 （B）二阶原点矩 （C）二阶中心矩 （D）样本方差 3．对于样本X1,X2,?,Xn作变换Yi? （A）

bnnXi?ab (a,b是常数，b?0)，则样本均值X= [ C ]

bnn?Yi?1i?an （B）

bnn?Yi?1i （C）

?Yi?1i?a （D）

bnn?Yi?1i?a

22 4．设X1,X2,?,Xn1与Y1,Y2,?,Yn分别来自正态总体N(?1,?1)，N(?2,?2)，其中

2?1,?2,?1,?已知，且两正态总体相互独立，则不服从标准正态分布的统计量是 [ D ] 2(X?Y)?(?1??2)(X??1)n1Xn1??1Y1??2?1 （D）Xi??22 （A）

?1 （B）

?1 （C）

2?220n1??2n22

5．设X1,X2,?,X20来自正态总体N(?,?)的样本，则?(i?1?)服从 [ D ]

（A）N(0,1) （B）N(?,?2n) （C）

?(19)2 （D）?(20)

2 6．设总体X~N(?,?)，x1,x2,?,xn为其样本，记x?21nix?ni?1，S?2(x?n?1i?11ni?x)，则

2Y?n(x??)S服从的分布是 [ C ]

35

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