同济大学版概率论与数理统计修改版答案2(2)

5．已知A1,A2,A3为一完备事件组，且P(A1)?0.1,P(A2)?0.5,P(B|A1)?0.2P(B|A2)?0.6

P(B|A3)?0.1，则P(A1|B)? 1/18

P(A1|B)?P(A1B)P(B)?P(A1)(B|A1)P(A1)(B|A1)?P(A2)(B|A2)?P(A3)(B|A3)?1/18解：

?

0.1?0.20.1?0.2?0.5?0.6?0.1?0.4三、计算题：

2．某产品由甲、乙两车间生产，甲车间占60%，乙车间占40%，且甲车间的正品率为90%，乙车间的正品率为95%，求：

（1）任取一件产品是正品的概率；

（2）任取一件是次品，它是乙车间生产的概率。

解：A：某产品由甲两车间生产。B：任取一件产品是正品。

P(A)?0.6,P(A)?0.4,P(B|A)?0.9,P(B|A)?0.95已知：(1)P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?0.6?0.9?0.4?0.95?0.92

(2)P(A|B)?P(AB)P(B)?P(A)P(B|A)1?P(B)?0.4?(1?0.95)1?0.92?25%3．为了防止意外，在矿内同时设有两报警系统A与B，每种系统单独使用时，其有效的概率系统A为0.92，系统B为0.93，在A失灵的条件下，B有效的概率为0.85，求： （1）发生意外时，这两个报警系统至少一个有效的概率； （2）B失灵的条件下，A有效的概率。

解: 设A为系统A有效, B为系统B有效, 则根据题意有 P(A)=0.92, P(B)=0.93, P(B|A)?0.85

(1) 两个系统至少一个有效的事件为A+B, 其对立事件为两个系统都失效, 即A?B?AB, 而P(B|A)?1?P(B|A)?1?0.85?0.15, 则 P(AB)?P(A)P(B|A)?(1?0.92)?0.15?0.08?0.15?0.012P(A?B)?1?P(AB)?1?0.012?0.988

(2) B失灵条件下A有效的概率为P(A|B), 则

P(AB)P(B)0.0121?0.93P(A|B)?1?P(A|B)?1??1??0.829

4．某酒厂生产一、二、三等白酒，酒的质量相差甚微，且包装一样，唯有从不同的价格才能区别品级。厂部取一箱给销售部做样品，但忘了标明价格，只写了箱内10瓶一等品，8瓶二等品，6

6

瓶三等品，销售部主任从中任取1瓶，请3位评酒专家品尝，判断所取的是否为一等品。专家甲说是一等品，专家乙与丙都说不是一等品，而销售主任根据平时资料知道甲、乙、丙3位专家判定的准确率分别为0.96,0.92和0.90。问懂得概率论的主任该作出怎样的裁决？ 解：A：这瓶酒是一等品。

B1,B2,B3分别表示甲、乙、丙说是一等品。B1,B2,B3相互独立。

P(B1|A)?0.96,P(B2|A)?0.92,P(B3|A)?0.9,P(A)?P(B1B2B3)?P(B1B2B3|A)P(A)?P(B1B2B3|A)P(A)?P(B1|A)P(B2|A)P(B3|A)P(A)?P(B1|A)P(B2|A)P(B3|A)P(A)?0.96?0.08?0.1?P(A|B1B2B3)?512?0.04?0.92?0.9?(1?512)C10C2411?5/12P(B1B2B3A)P(B1B2B3) ?P(B1B2B3|A)P(A)P(B1B2B3)0.96?0.08?0.1?512512)?0.96?0.08?0.1??14.2Q2?0.04?0.92?0.9?(1?第一章 随机事件及其概率（四）

一、选择题：

1．设A，B是两个相互独立的事件，P(A)?0,P(B)?0，则一定有P(A?B)? [ B ] （A）P(A)?P(B) （B）1?P(A)P(B) （C）1?P(A)P(B) （D）1?P(AB) 2．甲、乙两人各自考上大学的概率分别为0.7，0.8，则两人同时考上大学的概率是 [ B ] （A）0.75 （B）0.56 （C）0.50 （D）0.94 3．某人打靶的命中率为0.8，现独立的射击5次，那么5次中有 2次命中的概率是 [ D ] （A）0.8?0.2 （B）0.8 （C）

23225?0.8 （D）C50.8?0.2

22237

4．设A，B是两个相互独立的事件，已知P(A)?12561223,P(B)?13，则P(A?B)? [ C ]

34 （A） （B） （C） （D）

5．若A，B之积为不可能事件，则称A 与B [ B ] （A）独立 （B）互不相容 （C）对立 （D）构成完备事件组 二、填空题：

1．设A与B是相互独立的两事件，且P(A)?0.7,P(B)?0.4，则P(AB)? 0.12 2．设事件A，B独立。且P(A)?0.4,P(B)?0.7，则A，B至少一个发生的概率为 0.82 3．设有供水龙头5个，每一个龙头被打开的可能为0.1，则有3个同时被打开的概率为

C5(0.1)(0.9)?0.0081232

4．某批产品中有20%的次品，进行重复抽样调查，共取5件样品，则5件中恰有2件次品的概率为

C5(0.2)(0.8)?0.2048223 ，5件中至多有2件次品的概率 C5(0.8)?C5(0.2)0(8.?)C5051420(2.)0(?8.)09.420823 。

三、计算题：

1．设某人打靶，命中率为0.6，现独立地重复射击6次，求至少命中两次的概率。 解：所求的概率为

6P? ?K?2P(k)?1?P(0)?P1()666 ?1?(0.4)?6?(0.6)(0.4)?0.9590465

2．某类灯泡使用寿命在1000个小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只坏一个的概率。

解：设A =“灯泡使用寿命在1000个小时以上”， 则P(A)?0.2 所求的概率为 P?C3P(A)P(A)?C3P(A)P(A)03012

?(0.2)?3?(0.2)?0.8?0.10432

3．甲、乙、丙3人同时向一敌机射击，设击中敌机的概率分别为0.4，0.5，0.7。如果只有一人击8

中飞机，则飞机被击落的概率是0.2；如果2人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.6；如果3人都击飞机，则飞机一定被击落，求飞机被击落的概率。

解：设A =“甲击中敌机” B =“乙击中敌机” C =“丙击中敌机” Dk =“k人击中飞机”（k =1，2，3） H =“敌机被击中” P(D)?1P(ABC)?P(AB?)C(PAB)C

.3?.0?6.0?5.0?3.0?6.0?5. ?0.4?0.5?0P(D2)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)?0 7. ?0 7..3?.0?4.0?5.0?7.0?6.0?5. ?0.4?0.5?0P(D3)?P(ABC)?0.4?0.5?0.7?0.14

3 P(H)?P(1D)P(H|1D?)P(D)P(H2|?D)2P(D)P(H|D)3 .2?.04?1.0?6.0?14?1. 0 ?0.36?0

4．一质量控制检查员通过一系列相互独立的在线检查过程（每一过程有一定的持续时间）以检查新生产元件的缺陷。已知若缺陷确实存在，缺陷在任一在线检查过程被查出的概率为p。 （1）求缺陷在第二个过程结束前被查出的概率（缺陷若在一个过程查出就不再进行下一个过程）； （2）求缺陷在第n个过程结束之前被查出的概率；

（3）若缺陷经3个过程未被查出，该元件就通过检查，求一个有缺陷的元件通过检查的概率； 注：（1）、（2）、（3）都是在缺陷确实存在的前提下讨论的。 （4）设随机地取一元件，它有缺陷的概率为0.1，设当元件无缺陷时将自动通过检查，求在（3）的假设下一元件通过检查的概率；

（5）已知一元件已通过检查，求该元件确实是有缺陷的概率（设p?0.5）。 解：设Ak =“第k个过程前有缺陷的元件被查出”

B =“元件有缺陷” C =“元件通过检查” （1） （2） P(A1?A1A2)?P(A1)?P(A1)P(A2)?p?p(1?p)?2p?pP(A1?A1A2?A1A2A3???A1A2?An?1An)22

n?1

?p?p(1?p)?p(1?p)???p(1?p)

?1?(1?p)n

9

（3） （4）

P(A1A2A3)?(1?p)3 3P(C)?P(BA1A2A3?B)?0.1?(1?p)?0.9

P(A1A2A3|C)?P(BA1A2A3)P(C)3 （5）

?

?0.01370.90.1(1?p)0.1(1?p)?3 （p?0.5）

5．设A，B为两个事件，P(A|B)?P(A|B),P(A)?0,P(B)?0，证明A与B独立。

P(A|B)?P(AB)P(B) P(A|B)P(A|B)?P(AB)P(B)?P(A?)P(AB) 证： 由于1?P(B) 已知 P(A|B)?P(AB)?

P(A)?P(AB)1?P(B)P(A)P( B) 有 P(B)

即 P(AB)? 所以 A与B独立

第一章 随机事件及其概率（五）

一、选择题：

1．对于任意两个事件A和B [ B ] （A）若AB??，则A，B一定独立 （B）若AB??，则A，B有可能独立 （C）若AB??，则A，B一定独立 （D）若AB??，则A，B一定不独立 2．设0?P(A)?1,0?P(B)?1,P(A|B)?P(A|B)?1，则 [ D ]

（A）事件A和B互不相容 （B）事件A和B互相对立 （C）事件A和B互不独立 （D）事件A和B相互独立

3．设A，B为任意两个事件且A?B，P(B)?0，则下列选项必然成立的是 [ B ] （A）P(A)?P(A|B) （B）P(A)?P(A|B) （C）P(A)?P(A|B) （D）P(A)?P(A|B) 二、填空题：

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