同济大学版概率论与数理统计修改版答案2(5)

(C) Z?N(?1??2,?1??2)22 (D) Z?N(?1??2,?1??2)22 2、若(X,Y)服从二维均匀分布，则 [ B ] （A）随机变量X,Y都服从均匀分布 （B）随机变量X,Y不一定服从均匀分布 （C）随机变量X,Y一定不服从均匀分布 （D）随机变量X?Y服从均匀分布 二、填空题：

?2xy,0?x?1,0?y?2?x?f(x,y)??3?0,其他.?1、设二维随机变量(X,Y)的密度函数为则P(X?Y?1)? 。 1?P(X?Y?1)?1?，

?10dx?1?x0(x?2xy3)dy?1??(01x6?2x32?5x63)dx?78

2、设随机变量X,Y同分布，X的密度函数为

P(A?B)?34，则a? a0?32?x,0?x?2f(x)??8?0,其他?，设A?{X?a}与

B?{Y?a}相互独立，且

34 。 a3P(A)?P(X?a)?1?P(X?a)?1??3x82dx?1?8

2P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?2P(A)?[P(A)]

a?2(1?)?(1?88

a332)a3?1??64 4

6三、计算题：

P{X?k}?ak,P{Y??k}?bk2,(k?1,2,3) 1．已知，X与Y独立，确定a，b的值，求出(X,Y)的联合概率分布以及X?Y的概率分布。

21

解：由归一性 ?kP(X?k)?a?a2b4?a3b9?11a649b36?1a?611 所以 ?1b? 由归一性

?kP(Y??k)?b???3649

所以

(X,Y)的联合概率分布

由于

P(X?Y??2)?24539

Y ?3 ?2 ?1 X 1 24/539 54/539 216/539 2 12/539 27/539 108/539 3 8/539 18/539 72/539 649 126539 72539

P(X?Y??1)?66539? P(X?Y?0)?251539 P(X?Y?1)?P(X?Y?2)?X?Y的概率分布为：

X?YP?224539?16653902515391126539272539 ?12e?3x?4y,x?0,y?0f(x,y)??其他?0,2．随机变量X与Y的联合密度函数为，分别求下列概率密度函

数：（1）Z?X?Y； （2）M?max{X,Y}； （3）N?min{X,Y}。 解：（1）FZ(z)?P(Z?z)?P(X?Y?z)?

z?x??x?y?zf(x,ydxdy) ??z0dx?012e?3x?4ydy

?3?e0z?3x(1?e?4(z?x))dx ?(?e?3x?3ex?4z)|0z ?1?4e?3z?3e?4z 22

0?FZ(z)???3z?4z1?4e?3e? 即 z?0z?0 z?0z?00?fZ(z)???3z?4z12e?12e? 所以 Z的概率密度函数为

f(z)?0 或 当z?0时，Z

当z?0时，

fZ(z)?? ??0????f(x,?z?3x?4z(?x)x)dx dxz 12e?4z

?12e?ex0|z z?0z?0?12e?4z?(e?1)z0?fZ(z)???3z?4z12e?12e?所以 Z的概率密度函数为

（2）由于

fX(x)??????f(x,y)dy?f(x,y)d?y??0??012e?3x?4ydy?3e?3x

?4y??? 则X与Y相互独立。

fY(y)?????12e?3x?4y?dx4e

F(z)?0当z?0时，M F(z)?P(M?z)?P(X?z,Y?z)?P(X?z)P(Y?z) 当z?0时，M ?FX(z)FY(z)?(1?e?3z)(1?e?4z) z?0z?00?fM(z)???3z?4z?4z?3z?3z?4z?7z3e(1?e)?4e(1?3)?3e?4e?7e? 所以

F(z)?0（3） 当z?0时，N

当z?0时，

23

FN(z)?P(N?z)?1?P(N?z)?1?P(X?z,Y?z)?1?P(X?z)P(Y?z)

?1?[1?FXz()]?[F1Yz?()?]e1e?3z?4z??e?7z1

?0fN(z)???7z?7e 所以

z?0z?0

3．设X与Y是独立同分布的随机变量，它们都服从均匀分布U(0,1)。试求 （1）Z?X?Y的分布函数与概率密度函数； （2）U?2X?Y的概率密度函数。

fZ(z)?解：（1）

?????fX(x)fY(z?x)dx (0?x?1,0?z?x? 1)f(z)?0 当z?0或z?2时，Z 当0?z?1时， 当1?z?2时，

fZ(z)??1z0dx?z

fZ(z)??z?1dx?2?z?z?fZ(z)??2?z?0? 所以，0?z?11?z?2其他

F(u)?0F(u)?1 （2）当u??1时，U；当u?2时，U

当?1?u?0时，

FU(u)??1y?uudy?20dx??1y?u2udy?14(1?2u?3u)2；

当0?u?1时，

FU(u)??10y?udy?1u220dx?14(1?2u)； u2 当1?u?2时，

FU(u)?1??dx?2x?u0dy?u?4

24

0??1?(1?2u?3u2)?4?1?(1?2u)FU(u)??4?2?uu??4?1?? 即 U?2X?Y的分布函数为：

u??1?1?u?00?u?11?u?2u?2 所以 U?2X?Y的概率密度函数为：

?13u?2?2??1?fU(u)?FU?(u)??2?u?1?2???0?1?u?00?u?11?u?2其它 ?Ae?yfY(y)???0，

?1fX(x)???0 4．设X和Y相互独立，其概率密度函数分别为0?x?1其它y?0y?0，

求：（1）常数A， （2）随机变量Z?X?Y的概率密度函数。 1?FY(??)? 解：（1） 由于

???0Ae?ydy??Ae?y|0?A??，所以A = 1

（2） 随机变量Z?X?Y的概率密度函数

fZ?z???????fX?x?fY?z?x?dx （0?x?1,z?x?0）

f?z??0 当Z?0时，Z 当0?z?1时， 当z?1时， 一、选择题：

fZ?z???ez01?e?(z?x)dx?e?z?z?z0edxx?1?e?e?z?z

fZ?z???1?(z?x)0dx?e?10edxx?e?z?1

第四章 随机变量的数字特征（一）

1．设随机变量X，且E(X)存在，则E(X)是 [ B ]

25

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库同济大学版概率论与数理统计修改版答案2(5)在线全文阅读。