同济大学版概率论与数理统计修改版答案2(4)

X~U(1,4),1?x?4?13f(x)???0,其它P(X?5)??5??f(x)dx??4131dx?x|12.513x|1?14P(0?X?2.5)??2.5131dx?13?0.5解：或用分布函数来求也可以?x?f(x)??ax?b?0? 2．设随机变量X的密度函数为

P(12?X?78

0?x?11?x?2其他P(0?X?32)?78

，且

3求：（1）常数a,b （2）

2.(1)由P(0?X?又1=?(2)P(????2 （3）X的分布函数F(x)

)3210)???103xdx??21(ax?b)dx?78f(x)dx??xdx?32)??21(ax?b)dx.可得a??1，b?2.3212?X??112xdx??1(?x?2)dx?34?0 x?0 ??0.5x 0?x?1(3) F(x)??2??0.5x?2x?1 1?x?2 ?1 x?2? 解：

??1 3．设某种电子元件的使用寿命X（单位：h）服从参数600的指数分布，现某种仪器使用三

个该电子元件，且它们工作时相互独立，求： （1）一个元件时间在200h以上的概率；

（2）三个元件中至少有两个使用时间在200h以上的概率。 3.(1)P(X?200)????200160013e?1600xdx?e?13(2)Y?\使用时间在200h以上的元件个数\P(Y?2)?C(e 23?13)(1?e2?)?C(e33?13)?3e3?23?2e?1

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第二章 随机变量及其分布（三）

X?22a2?10.103a1a2a32a 1．已知X的概率分辨为 pi ，试求： （1）常数a； （2）Y?X?1的概率分布。

(1) 2a?0.1?3a?a?a?2a?1?a?0.1 (2) Y -1 0 3 8 p 0.3 0.2 0.3 0.22．设随机变量X在（0，1）服从均匀分布，求： （1）Y?e的概率密度； （2）Y??2lnX的概率密度。

2.(1)FY(y)?P(Y?y)?P(e ?FXX

X?y)?P(X?lny)?0 y?1 ?(lny)??lny 1?y?e?1 y?e ??1 1?y?e???y?0 other??y2?fY(y)?dFY(y)y(2)FY(y)?P(Y?y)?P(?2lnX?y)?P(X?e ?1?P(X?e?y2)y???1?e2 0?y??? )???? 0 y?0 ?fY?1?ydFY(y)e2 0?y????(y)???2y?0 other? 3．设X~N(0,1)，求： （1）Y?2X?1的概率密度； （2）Y?|X|的概率密度。

217

3.(1)FY(y)?P(Y?y)?P(2X ?P(?y?12?X?y?12y?1212??2?1?y)y?12)y?12 ?2P(X?)?1?2FX()?1 ?fY(y)?2fX()1221y?112(y?1)12??y?14y?1 ?12(y?1)e22?e(y?1)y?1??1e4 y?1??fY(y)??2?(y?1)??0 other

(2)FY(y)?P(Y?y)?P(X?y) ?P(?y?X?y)?2?2X(y)?1y??1e2 y?0?2 ?fY(y)??2???0 other 第三章 多维随机变量及其分布（一）

一、填空题：

?Axy2,0?x?1,0?y?1f(x,y)???0,其他1、设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为，则常数

A?6 。

????111?????f(x,y)dxdy?A?xdx?ydy?A002x22|10y33|0?6A1

?Aarctanx?arctany,x?0,y?0F(x,y)???0,其他2、设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为，则常

数A? 4/? 。

218

1?F(??,??)?Alimarctanxlimarctany?Ax??y???24 二、计算题：

1．在一箱子中装有12只开关，其中2只次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种实验： （1）放回抽样；（2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下： ?0X???1

若第一次出的是正品?0Y??若第一次出的是次品?1 ，

若第二次出的是正品若第二次出的是次品

试分别就（1），（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律。 解：1．（1）放回抽样 （2）不放回抽样

Y 0 1 X 0 25/36 5/36 Y 0 1 X 0 15/22 5/33 1 5/36 1/36 1 5/33 1/66

2．设二维离散型随机变量的联合分布见表：试求

X Y 1P{1（1）

2?X?3201/41/163001/1641/161/402,0?Y?4}，

1231/41/160（2）P{1?X?2,3?Y?4}

P{12?X?32,0?Y?4}?P(X?1,Y?2)?P(X?1,Y?3)?P(X?1,Y?1)解：（1）?1/4P{1?X?2,3?Y?4}，

?P(X?1,Y?3)?P(X?1,Y?4)?P(X?2,Y?3)?P(X?2,Y?4)（2）?5/16

3．设随机变量(X,Y)的联合分布律如表：

求：（1）a值； （2）(X,Y)的联合分布函数F(x,y) （3）(X,Y)关于X，Y的边缘分布函数

FX(x)

和

FY(y)

Y ?1 0 X 1 1/4 1/4 2 1/6 a 19

解：（1）1/4+1/4+1/6+a=1,a=1/3

?0?1??4??5F(x,y)???12?1?2???1x<1或y<-11?x?2,?1?y?0x?2,?1?y?01?x?2，y?0x?2,y?0（2） （3）

?0??1(x)???2??1x?11?x?2；x?2FY?0y??1??5(y)???1?y?0.?12y?0??1

FX

0

，求：

（1）常数k； （2）求P{X?1,Y?3}； （3）P{X?1.5}； （4）P{X?Y?4}

第三章 多维随机变量及其分布（二）

一、选择题：

X?N(?1,?1),Y?N(?2,?2)Y仍服从正态分布，1、设随机变量X与Y独立，且，则Z?X?22且有

[ D ] （A）

Z?N(?1??2,?1??2)22 (B) Z?N(?1??2,?1??2)22 20

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