历年年中考数学压轴题(题题经典)(4)

初三数学总复习 知识改变命运创造未来

18．如图，点M是反比例函数y＝ 1 x在第一象限内图象上的点，作MB⊥x轴于点B．过点M的第一条直线交y轴于

点A1，交反比例函数图象于点C1，且A1C1＝ 1 2A1M，△A1C1B的面积记为S1；过点M的第二条直线交y轴于点A2，交反比例函数图象于点C2，且A2C2＝ 1 4A2M，△A2C2B的面积记为S2；过点M的第三条直线交y轴于点A3，交反比例函数图象于点C3，且A3C3＝ 1 8A3M，△A3C3B的面积记为S3；依次类推…；则S1＋S2＋S3＋…＋S8＝ ▲ ． 【答案】

255。 51225．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：

如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90o，小敏将一块三角板中含45o角的顶点放在点A处，从AB边开始绕点A顺时针旋转一个角?，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．

(1)小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠MAB，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；

(2)当0o＜?≤45o时，小敏在旋转的过程中发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2＋CE2＝DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：

小颖的方法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF(如图2)； 小亮的方法：将△ABD绕点A逆时针旋转90o得到△ACG，连接EG(如图3)． 请你从中任选一种方法进行证明；

(3)小敏继续旋转三角板，在探究中得出：当45o＜?≤135o且?≠90o时，等量关系BD2＋CE2＝DE2

仍然成立．现请你继续探究：当135o＜?＜180o时(如图4)，等量关系BD2＋CE2＝DE2是否仍然成立？若成立，给出证明：若不成立，说明理由．

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解：（

1）证明：∵∠BAC＝90o，∠DAE＝∠DAM＋∠MAE＝45o，∴∠BAD＋∠EAC＝45o。 又∵AD平分∠MAB，∴∠BAD＝∠DAM。∴∠MAE＝∠EAC。∴AE平分∠MAC。 2）证明小颖的方法：

∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，∴AF＝AB，∠AFD＝∠B＝45o，∠BAD＝∠FAD。 又∵AC=AB，∴AF＝AC。 由（1）知，∠FAE＝∠CAE。

在△AEF和△AEC中，∵AF＝ AC，∠FAE＝∠CAE，AE＝AE，

∴△AEF≌△AEC（SAS）。∴CE＝FE，∠AFE＝∠C＝45o。 ∴∠DFE＝∠AFD ＋∠AFE＝90o。 在Rt△OCE中，DE2＋FE2＝DE2，∴BD2＋CE2＝DE2。

（3）当135o＜?＜180o时，等量关系BD2＋CE2＝DE2仍然成立。证明如下： 如图，按小颖的方法作图，设AB与EF相交于点G。

∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，∴AF＝AB，∠AFD＝∠ABC＝45o，∠BAD＝∠FAD。 又∵AC=AB，∴AF＝AC。

又∵∠CAE＝900－∠BAE＝900－（45o－∠BAD）＝45o＋∠BAD＝45o＋∠FAD＝∠FAE。

在△AEF和△AEC中，∵AF＝ AC，∠FAE＝∠CAE，AE＝AE，

∴△AEF≌△AEC（SAS）。∴CE＝FE，∠AFE＝∠C＝45o。

又∵在△AGF和△BGE中，∠ABC＝∠AFE＝45o，∠AGF＝∠BGE，∴∠FAG＝∠BEG。 又∵∠FDE＋∠DEF=∠FDE＋∠FAG＝

12（∠ADB＋∠DAB）＝12∠ABC＝90o。∴∠DFE＝90o。 在Rt△OCE中，DE2＋FE2＝DE2，∴BD2＋CE2＝DE2。

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【答案】 （ 初三数学总复习 知识改变命运创造未来

26．如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且OD＝10，OB＝8．将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合．

(1)直接写出点A、B的坐标：A( ， )、B( ， )；

(2)若抛物线y＝－ 1 3x2＋bx＋c经过点A、B，则这条抛物线的解析式是 ；

(3)若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N．问是否存在点M，使△AMN与△ACD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；

(4)当 7 2≤x≤7，在抛物线上存在点P，使△ABP的面积最大，求△ABP面积的最大值．

1210【答案】解：（1）（6，0），（0，－8）。 （2）y＝?x+x?8。

33 （3）存在。

12101210??，?m+m?8设M?m?，则N（m，0）MN=?m+m?8，NA=6－m。 3333?? 又DA=4，CD=8，

①若点M在点N上方，

MNNA，则△AMN∽△ACD。 ?CDDA1210?m+m?86?m233?6m+60=0∴，即m1，解得m=6或m=10。 ?84与点M是直线AB上方抛物线上的一个动点不符。∴此时不存在点M，使△AMN与△ACD相似。 ②若点M在点N下方，

MNNA?，则△AMN∽△ACD。 CDDA1210m?m+86?m233?4m?12=0∴，即m，解得m=－2或m=6。 ?84

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与点M是直线AB上方抛物线上的一个动点不符。∴此时不存在点M，使△AMN与△ACD相似。 ③若点M在点N上方，

MNNA，则△AMN∽△ACD。 ?DACD1210?m+m?86?m233∴，即2，方程无解。∴此时不存在点M，使△AMN与△ACD相似。 m2?3m+66=0?48④若点M在点N下方，

MNNA，则△AMN∽△ACD。 ?DACD1210m?m+856?m233∴，即2，解得m=或m=6。 m1?7m+30=0?248当m=

557时符合条件。∴此时存在点M（，?），使△AMN与△ACD相似。 22457，?），使△AMN与△ACD相似。 24综上所述，存在点M（

1101210（4）设P（p，?p2+p?8）， 在y＝?x+x?8中，令y=0，得x=4或x=6。

3333 ∴ 7 2≤x≤7分为 7 2≤x＜4，4≤x＜6和6≤x≤7三个区间讨论：

110 ①如图，当 7 2≤x＜4时，过点P作PH⊥x轴于点H则OH=p，HA=6－p ，PH=p2?p+8。

33?S?S?S∴S ?ABP?OAB?APH梯形OBPH111010???1?2121??6?8???p+8+8p???6p???p+8???p??p?223333???2?

2??p+6p=?p3+???92 ∴当 7 2≤x＜4时，S?ABP随p的增加而减小。 ∴当x= 7 2时，S?ABP取得最大值，最大值为

35。 4②如图，当4≤x＜6时，过点P作PH⊥BC于点H，过点A作AG⊥BC于点G。

12101210则BH= p，HG=6－p，PH=?p， +p8?+8=?p+p3333?S+S?S∴S ?ABP?BPH?ABG梯形PHGA10?10?1?121?121???p+p?p+??p+p+8?6p???6?8??????22 ?33?2?33?2??p+6p=?p3+???92∴当4≤x＜6时，S?ABP随p的增加而减小。∴当x=4时，S?ABP取得最大值，最大值为8。

110③如图，当6≤x≤7时，过点P作PH⊥x轴于点H。则OH=p，HA= p－6，PH=p2?p+8。

33∴S ?S?S?S?ABP?OABA?PH梯形OBPH 19

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110110???1?2121??p?p+8+8p???6?8??p6??p?p+8??????2332233????

2?p?6p=p3?9???2∴当6≤x≤7时，S?ABP随p的增加而增加。∴当x=7时，S?ABP取得最大值，最大值为7。 综上所述，当x= 7 2时，S?ABP取得最大值，最大值为

35。 4福建泉州

⒎如图，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交于点E、F，则（ ）

A .EF>AE+BF B. EF

思考归纳：解：如图：可作出过切点的几条半径，则其与切线互相垂直，再过点E、F作AB的垂线段，通过证明三角形全等，将EF进行转化，从而得到EF=AE+BF。

⒘在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点的△ABC的相似线，简记为P(lx),(x为自然数). ．．P．．．．．．．．．．．

（1）.如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），．．此外还有_______条.

（2）.如图②，∠C=90°，∠B=30°，当

BP1?_______时，P(lx)截得的三角形面积为△ABC面积的. BA4

福建泉州25.（12分）已知：A、B、C不在同一直线上.

（1）.若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，A、B、C如图一，当∠A=45°时，R=1，求∠BOC的度数和BC的长度； Ⅱ.如图二，当∠A为锐角时，求证sin∠A=

BC； 2R20

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