历年年中考数学压轴题(题题经典)(2)

初三数学总复习 知识改变命运创造未来

﹣30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．（参考数据：

≈15.2，

≈20.5，

≈28.4）

解答：解：（1）根据表格中数据可以得出xy=定值，则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系：y1=，将（1，12000）代入得：k=1×12000=12000，故y1=

（1≤x≤6，且x取整数）；

得：

，

根据图象可以得出：图象过（7， 10049），（12，10144）点，代入解得：

，故y2=x+10000（7≤x≤12，且x取整数）；

?x+（12000﹣

2

（2）当1≤x≤6，且x取整数时：W=y1x1+（12000﹣y1）?x2==﹣1000x+10000x﹣3000，∵a=﹣1000＜0，x=﹣

2

）?（x﹣x），

2

=5，1≤x≤6，∴当x=5时，W最大=22000（元），

2

2

2

当7≤x≤12时，且x取整数时，W=2×（12000﹣y1）+1.5y2=2×（12000﹣x﹣10000）+1.5（x+10000），=﹣x+1900， ∵a=﹣＜0，x=﹣

=0，当7≤x≤12时，W随x的增大而减小，∴当x=7时，W最大=18975.5（元），∵22000＞18975.5，

∴去年5月用于污水处理的费用最多，最多费用是22000元；

（3）由题意得：12000（1+a%）×1.5×[1+（a﹣30）%]×（1﹣50%）=18000，设t=a%，整理得：10t+17t﹣13=0， 解得：t=

答：a的值是57．

26．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧． （1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；

（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．

解答： 解：（1）如图①，设正方形BEFG的边长为x，则BE=FG=BG=x， ∵AB=3，BC=6，∴AG=AB﹣BG=3﹣x，

6

2

，∵

≈28.4，∴t1≈0.57，t2≈﹣2.27（舍去），∴a≈57，

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∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC，∴（2）存在满足条件的t，

，即，解得：x=2，即BE=2；

理由：如图②，过点D作DH⊥BC于H，则BH=AD=2，DH=AB=3， 由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t，

在Rt△B′ME中，B′M2=ME2+B′E2=22+（2﹣t）2=t2﹣2t+8， ∵EF∥AB，∴△MEC∽△ABC，∴

，即

，∴ME=2﹣t，

在Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t﹣2）2=t2﹣4t+13，过点M作MN⊥DH于N，

则MN=HE=t，NH=ME=2﹣t，∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣t）=t+1，在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2=t2+t+1， （Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，即t2+t+1=（t2﹣2t+8）+（t2﹣4t+13），解得：t=（Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D2=B′M2+DM2，即t2﹣4t+13=（t2﹣2t+8）+（t2+t+1）， 解得：t1=﹣3+

，t2=﹣3﹣

（舍去），∴t=﹣3+

；

，

（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2，即：t2﹣2t+8=（t2﹣4t+13）+（t2+t+1），此方程无解， 综上所述，当t=

或﹣3+

时，△B′DM是直角三角形；

（3）①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，即2：3=CE：4，∴CE=，

∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣=，∵ME=2﹣t，∴FM=t，当0≤t≤时，S=S△FMN=×t×t=t2， ②当G在AC上时，t=2，∵EK=EC?tan∠DCB=EC?

=（4﹣t）=3﹣t，∴FK=2﹣EK=t﹣1，

∵NL=AD=，∴FL=t﹣，∴当＜t≤2时，S=S△FMN﹣S△FKL=t2﹣（t﹣）（t﹣1）=﹣t2+t﹣； ③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH，即B′C：4=2：3，解得：B′C=， ∴EC=4﹣t=B′C﹣2=，∴t=∴当2＜t≤④如图⑥，当

，∵B′N=B′C=（6﹣t）=3﹣t，∵GN=GB′﹣B′N=t﹣1，

时，S=S梯形GNMF﹣S△FKL=×2×（t﹣1+t）﹣（t﹣）（t﹣1）=﹣t2+2t﹣，

＜t≤4时，∵B′L=B′C=（6﹣t），EK=EC=（4﹣t），B′N=B′C=（6﹣t）EM=EC=（4﹣t），

S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL﹣S梯形B′EMN=﹣t+．综上所述： 当0≤t≤时，S=t2，当＜t≤2时，S=﹣t2+t﹣；当2＜t≤

时，S=﹣t2+2t﹣，当

＜t≤4时，S=﹣t+．

7

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福建福州

10．如图，过点C(1，2)分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝－x＋6于A、B两点，若反比例函数y

＝kx(x＞0)的图像与△ABC有公共点，则k的取值范围是

A．2≤k≤9 B．2≤k≤8 C．2≤k≤5 D．5≤k≤8

解答：解：∵ 点C(1，2)，BC∥y轴，AC∥x轴，∴ 当x＝1时，y＝－1＋6＝5，

当y＝2时，－x＋6＝2，解得x＝4，∴ 点A、B的坐标分别为A(4，2)，B(1，5)， 根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C相交时，k＝1×2＝2最小， 设与线段AB相交于点(x，－x＋6)时k值最大，则k＝x(－x＋6)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9， ∵ 1≤x≤4，∴ 当x＝3时，k值最大，此时交点坐标为(3，3)，因此，k的取值范围是2≤k≤9． 故选A．

15．如图，已知△ABC，AB＝AC＝1，∠A＝36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是______，cosA的值

是______________．(结果保留根号)

解答：∵ △ABC，AB＝AC＝1，∠A＝36°，∴ ∠ABC＝∠ACB＝180°－∠A2＝72°． ∵ BD是∠ABC的平分线，∴ ∠ABD＝∠DBC＝12∠ABC＝36°．∴ ∠A＝∠DBC＝36°，

又∵ ∠C＝∠C，∴ △ABC∽△BDC，∴ ACBC＝BCCD，

设AD＝x，则BD＝BC＝x．则1x＝x1－x，解得：x＝5)＋12(舍去)或5)－12．故x＝ 5)－12．

如右图，过点D作DE⊥AB于点E，∵ AD＝BD，

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B

C E D

A

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∴E为AB中点，即AE＝12AB＝12．在Rt△AED中，cosA＝AEAD＝12\\r(52＝5)＋14．

故答案是：5)－12；5)＋14．

福建福州21．如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90o，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个

单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t≥0)．

(1) 直接用含t的代数式分别表示：QB＝______，PD＝______．

(2) 是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变点Q

的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度； (3) 如图②，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长． 解答：解：(1) QB＝8－2t，PD＝43t．

y B

B B B Q

D Q

D Q M2 Q M3 D F

M

D

C

P

第21题图①

A C

P

第21题图②

A C N M1 图2

P A x C H N E

图3

P A

(2) 不存在．

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴ AB＝10．

∵ PD∥BC，∴ △APD∽△ACB， ∴ ADAB＝APAC，即：AD10＝t6，∴ AD＝53t，∴ BD＝AB－AD＝10－53t．

∵ BQ∥DP，∴ 当BQ＝DP时，四边形PDBQ是平行四边形，即8－2t＝43t，解得：t＝125． 当t＝125时，PD＝43×125＝165，BD＝10－53×125＝6，∴ DP≠BD，∴ □PDBQ不能为菱形． 设点Q的速度为每秒v个单位长度， 则BQ＝8－vt，PD＝43t，BD＝10－53t． 要使四边形PDBQ为菱形，则PD＝BD＝BQ， 当PD＝BD时，即43t＝10－53t，解得：t＝103．

当PD＝BQ时，t＝103时，即43×103＝8－103v，解得：v＝1615．

(3) 解法一：如图2，以C为原点，以AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．

依题意，可知0≤t≤4，当t＝0时，点M1的坐标为(3，0)；

当t＝4时，点M2的坐标为(1，4)．设直线M1M2的解析式为y＝kx＋b，

∴ 3k＋b＝0k＋b＝4)，解得：k＝－2b＝6)．∴ 直线M1M2的解析式为y＝－2x＋6． ∵ 点Q(0，2t)，P(6－t，0)， ∴ 在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标为(6－t2，t)．

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把x＝6－t2，代入y＝－2x＋6，得y＝－2×6－t2＋6＝t．∴ 点M3在直线M1M2上． 过点M2作M2N⊥x轴于点N，则M2N＝4，M1N＝2．∴ M1M2＝25． ∴ 线段PQ中点M所经过的路径长为25单位长度． 解法二：如图3，设E是AC的中点，连接ME．

当t＝4时，点Q与点B重合，运动停止．设此时PQ的中点为F，连接EF． 过点M作MN⊥AC，垂足为N，则MN∥BC．∴ △PMN∽△PDC．

∴ MNQC＝PNPC＝PMPQ，即：MN2t＝PN6－t＝12．∴ MN＝t，PN＝3－12t，∴ CN＝PC－PN＝(6－t)－(3－12t)＝3－12t．

∴ EN＝CE－CN＝3－(3－12t)＝ 12t．∴ tan∠MEN＝MNEN＝2． ∵ tan∠MEN的值不变，∴ 点M在直线EF上．

过F作FH⊥AC，垂足为H．则EH＝2，FH＝4．∴ EF＝25．

∵ 当t＝0时，点M与点E重合；当t＝4时，点M与点F重合，∴ 线段PQ中点M所经过的路径长为25单位长度． 22．如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标； (3) 如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)．

解：(1) ∵ 抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过点A(3，0)、B(4，4)．

∴ 9a＋3b＝016a＋4b＝4)，解得：a＝1b＝－3)．∴ 抛物线的解析式是y＝x2－3x．

y A' N B A' N P1 A D N1 B1 图1 图2 N2 A y B P2 O P1 x O P2 D x B2 (2) 设直线OB的解析式为y＝k1x，由点B(4，4)，得：4＝4k1，解得k1＝1．∴ 直线OB的解析式为y＝x．

∴ 直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y＝x－m．

∵ 点D在抛物线y＝x2－3x上．∴ 可设D(x，x2－3x)．又点D在直线y＝x－m上， ∴ x2－3x ＝x－m，即x2－4x＋m＝0．

∵ 抛物线与直线只有一个公共点，∴ △＝16－4m＝0，解得：m＝4． 此时x1＝x2＝2，y＝x2－3x＝－2，∴ D点坐标为(2，－2)．

(3) ∵ 直线OB的解析式为y＝x，且A(3，0)，∴ 点A关于直线OB的对称点A'的坐标是(0，3)．

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