历年年中考数学压轴题(题题经典)

初三数学总复习 知识改变命运创造未来

2013中考数学压轴题

安徽10.在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部

分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（ ） A.10 B.45 C. 10或45 D.10或217

解析：考虑两种情况．要分清从斜边中点向哪个边沿着垂线段过去裁剪的.

解答：解：如下图，(，( 2?2)?(4?4)?452?3)?(4?4)45?102222

14.如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论： ①S1+S2=S3+S4 ② S2+S4= S1+ S3 ③若S3=2 S1，则S4=2 S2 ④若S1= S2，则P点在矩形的对角线上其中正确的结论的序号是_____________

解析：过点P分别向AD、BC作垂线段，两个三角形的面积之和S2?S4等于矩形面积的一半，同理，过点P分别向AB、CD作垂线段，两个三角形的面积之和S1?S3等于矩形面积的一半. S1?S3=S2?S4,又因为S1?S2，则

1,所以④一定成立 S2?S3=S?S?SABCD142安徽22.如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，

设BC=a、AC=b、AB=c.

（1）求线段BG的长；（2）求证：DG平分∠EDF;

（3）连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG. 解（1）∵D、C、F分别是△ABC三边中点 ∴DE∥AB,DF∥AC， 又∵△BDG与四边形ACDG周长相等 即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG

GFE1212CAB?ACb?c∴BG=AC+AG ∵BG=AB－AG ∴BG==

22（2）证明：BG=

b?cb?ccb，FG=BG－BF=－? 2222ADB∴FG=DF,∴∠FDG=∠FGD又∵DE∥AB

∴∠EDG=∠FGD ∠FDG=∠EDG ∴DG平分∠EDF （3）在△DFG中，∠FDG=∠FGD, △DFG是等腰三角形,

∵△BDG与△DFG相似,∴△BDG是等腰三角形,∴∠B=∠BGD,∴BD=DG,

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则CD= BD=DG,∴B、CG、三点共圆, ∴∠BGC=90°,∴BG⊥CG

23.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x－6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m。

（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围） （2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； （3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围。

23解：（1）把x=0,y=2,及h=2.6代入到y=a(x－6)2+h 即2=a(0－6)2+2.6， ∴a??（2）当h=2.6时，y=?x=18时，y=?11 ∴y=? (x－6)2+2.6 606011 (x－6)2+2.6 x=9时，y=? (9－6)2+2.6=2.45＞2.43 ∴球能越过网 60601 (18－6)2+2.6=0.2＞0 ∴球会过界 60

（3）x=0,y=2,代入到y=a(x－6)2+h得a?x=9时，y=

2?h； 362?h2?3h2?h8 (9－6)2+h?＞2.43 ① x=18时，y= (18－6)2+h8?3h＞0 ② 由① ②得h≥ 364363出发，沿箭头所示方向经过点B跑到点C，共用时30秒．他

北京8． 小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t（单位：秒），他与教练的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的

A．点M

B．点N

C．点P

D．点Q

【解析】 D

12．在平面直角坐标系xOy中，我们把横 、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A?0，4?，点B是x轴正半轴上的

AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当m?3时，点B的横坐标的所有可能值是 ；整点，记△

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当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m? （用含n的代数式表示．） 【解析】 3或4；6n?3

北京24．在△，MABC中，BA?BCB，?AC??旋转2?得到线段PQ。

是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针

??且点P与点M重合（如图1）CDB （1） 若???，线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出?的度数；

（2） 在图2中，点P不与点B，CDB的大小（用含?的M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想?代数式表示），并加以证明；

（3） 对于适当大小的?，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延

长线与射线BM交于点D，且P，请直接写出?的范围。 Q?QD【解析】

⑴

，?CDB?30?⑵ 连接P，易证△ ? ? C，ADAPD≌△CPDP?PCADB??CDBPAD??PCD ∴A 又∵P，?? Q?PA ∴PQ?PC，?ADC?2?CDBPQC?PCD??PADAPQ??ADC?360???PAD?PQD?180?∴? PAD??PQD??PQC??PQD?180??? ∴?∴? ADC?180???APQ?180??2???CDB1802??CDB??90?? ∴? ∴2?⑶ ∵?且P ∴? CDB??90??，Q?QDPAD??PCQ??PQC?2?CDB?180??2? ∵点P不与点B， M重合 ∴?BAD??PAD??MAD??1802?????5????60? ∴2 ∴4

xyxy25．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(1，1)与P2(2，2)的“非常距离”，给出如下定义： ?x|≥|y?y|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x 若|x12121?x2|； ?x|?|y?y|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y 若|x12121?y2|.

1，2)，点P3，5)，因为|1 例如：点P?3|?|2?5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2?5|?3，也就是图1中线1(2(段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）。

1 （1）已知点A(?，0)，B为y轴上的一个动点，

2 ①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标； ②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值； （2）已知C是直线y?3x?3上的一个动点， 4 ①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；

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②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”

的最小值及相应的点E和点C的坐标。

?2?或?0，2?【解析】⑴ ①?0，1② 23388???815?⑵ ①设C坐标?x0，x0?3?∴当?x0?x0?2此时x0??∴距离为此时C??，?.

4477???77?3348?34??89?②E??，?∴∴最小值1。 C??x?x?3?x??000??，?45 5 ?55? 5?55?

重庆10．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示对称轴为x=﹣

A．abc＞0 B．a+b=0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b 解答： 解：A、∵开口向上，∴a＞0，∵与y轴交与负半轴，∴c＜0， ∵对称轴在y轴左侧，∴﹣B、∵对称轴：x=﹣

＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故本选项错误；

．下列结论中，正确的是（ ）

=﹣，∴a=b，故本选项错误；C、当x=1时，a+b+c=2b+c＜0，故本选项错误；

D、∵对称轴为x=﹣，与x轴的一个交点的取值范围为x1＞1，∴与x轴的另一个交点的取值范围为x2＜﹣2， ∴当x=﹣2时，4a﹣2b+c＜0，即4a+c＜2b，故本选项正确．故选D．

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16．甲、乙两人玩纸牌游戏，从足够数量的纸牌中取牌．规定每人最多两种取法，甲每次取4张或（4﹣k）张，乙每次取6张或（6﹣k）张（k是常数，0＜k＜4）．经统计，甲共取了15次，乙共取了17次，并且乙至少取了一次6张牌，最终两人所取牌的总张数恰好相等，那么纸牌最少有 108 张．

分析： 设甲a次取（4﹣k）张，乙b次取（6﹣k）张，则甲（15﹣a）次取4张，乙（17﹣b）次取6张，从而根据两人所取牌的总张数恰好相等，得出a、b之间的关系，再有取牌总数的表达式，讨论即可得出答案．

解答： 解：设甲a次取（4﹣k）张，乙b次取（6﹣k）张，则甲（15﹣a）次取4张，乙（17﹣b）次取6张， 则甲取牌（60﹣ka）张，乙取牌（102﹣kb）张，则总共取牌：N=a（4﹣k）+4（15﹣a）+b（6﹣k）+6（17﹣b）=﹣k（a+b）+162，

从而要使牌最少，则可使N最小，因为k为正数，函数为减函数，则可使（a+b）尽可能的大，由题意得，a≤15，b≤16， 又最终两人所取牌的总张数恰好相等，故k（b﹣a）=42，而0＜k＜4，b﹣a为整数， 则由整除的知识，可得k可为1，2，3，

①当k=1时，b﹣a=42，因为a≤15，b≤16，所以这种情况舍去； ②当k=2时，b﹣a=21，因为a≤15，b≤16，所以这种情况舍去； ③当k=3时，b﹣a=14，此时可以符合题意，

综上可得：要保证a≤15，b≤16，b﹣a=14，（a+b）值最大，则可使b=16，a=2；b=15，a=1；b=14，a=0； 当b=16，a=2时，a+b最大，a+b=18，继而可确定k=3，（a+b）=18，所以N=﹣3×18+162=108张． 故答案为：108．

重庆 企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某

企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：

7至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为

2．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：z1（元）与月份x之间满足函数关y?ax?c(a?0)2系式：z1?311x，该企业自身处理每吨污水的费用：z2（元）与月份x之间满足函数关系式：z2?x?x2；7至

412212月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．

（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；

（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；

（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a

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