浙江省11市2015年中考试题分类解析汇编12：圆的问题(5)

【答案】解：（1）证明：如答图，连接OF，

∵DF切半圆于点F，∴DF⊥OF.

∵∠AEF=135°，四边形ABEF为圆内接四边形， ∴∠B=45°.∴∠FOA=90°.∴AB⊥OF. ∴DF∥AB. （2）如答图，连接OE，

∵BF=22，∠FOB=90°，∴OB=OF=2. ∵OC=CE，CE⊥AB，OE=OF=2，∴CE=2. ∵DC∥OF，DF∥AB，∴DC=OF=2. ∴DE=DC?CE=2?2. 【考点】切线的性质；圆内接四边形的性质；平行的判定；等腰直角三角形的判定和性质.

【分析】（1）连接OF，一方面由切线的性质得DF⊥OF；另一方面通过证明△BOF是等腰直角三角形得到AB⊥OF，从而证得结论.

（2）根据DE=DC?CE，分别求出DC和CE的长即可.

9. （2015年浙江温州14分）如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ:AB=3:4，作△ABQ的外接圆O. 点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线m⊥

l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E。在射线CD上取点F，使DF=

为邻边作矩形DEGF，设AQ=3x （1）用关于x的代数式表示BQ，DF；

（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长； （3）在点P的整个运动过程中，

①当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？

②作直线BG交⊙O于另一点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）

3CD，以DE，DF2

【答案】解：（1）在Rt△ABQ中，∵AQ：AB=3：4，AQ=3x，∴AB=4x.∴BQ=5x.

又∵OD⊥m，l?m，∴OD∥l. ∵OB=OQ，∴AH=BH=

13AB=2x.∴FD=CD=3x. 22（2）∵AP=AQ=3x，PC=4，∴CQ=6x?4.

如答图1，过点O作OM⊥AQ于点M，∴OM∥AB. ∵⊙O是△ABQ的外接圆，∠BAQ=90°， ∴点O是BQ的中点..∴QM=AM=

3x. 2∴OD=MC=

159x?4.∴OE=BQ=x.

222∴ED=2x?4.

∴S矩形DEGF?DF?DE?3x?2x?4??90. 解得x1?3, x2??5（舍去）.∴AP=3x?9. （3）①若矩形DEGF是正方形，则ED=FD. 当点C在点Q的右侧时，

i）如答图1，点P在点A的右侧时， 由2x?4?3x解得x?4， ∴AP=3x?12.

ii）点P在点A的左侧时， （I）如答图2，0

42?x<时， 73∵ED=7?4x， DF=3x，

∴由7?4x?3x解得x?1（舍去）. 当点C在点Q的左侧时，即x?∵DE=7x?4， DF=3x， ∴由7x?4?3x解得x?1. ∴AP=3x?3.

综上所述，当AP为12或②AP的长为62或2，如答图4， 36或3时，矩形DEGF是正方形. 567 19【考点】单动点和中心对称问题；列代数式；平行的判定和性质；圆周角定理；矩形的性质；正方形的判定；等腰直角三角形的判定和性质方程思想、分类思想和数形结合思想的应用. 【分析】（1）根据AQ：AB=3：4和平行的性质求解.

（2）把DF，DE用x的代数式表示，即可由矩形DEGF的面积等于90列议程求解.

（3）①根据ED=FD时矩形DEGF是正方形，分点C在点Q的右侧，点C在点Q的左侧的情况分类

讨论，其中点C在点Q的右侧又分点P在点A的右侧，点P在点A的左侧（再分0

②如答图5、6，连接NQ，

由点N到BN的弦心距为1得NQ=2. 如答图5，当点N在AB的左侧时， 过点B作BM⊥EG于点M， ∵GM=x，BM=x，∴∠GBM=45°. ∴BM∥AQ.

∴AI=AB=4x.∴IQ=x. ∴NQ=442和?x<）讨773x?2，解得x?22.∴AP=3x?62. 2如答图6，当点N在AB的右侧时， 过点B作BJ⊥GE于点J， ∵GJ=x，BJ=4x，∴tan∠GBJ=

1. 4∴AI=16x.∴QI=19x.∴NQ=19x217617?2，解得x?.∴AP=3x?.

19191767. 19综上所述，AP的长为62或

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