浙江省11市2015年中考试题分类解析汇编12：圆的问题(3)

∴CF?OC?OE?1?0.6?0.8?m?.∴CD?2CF?1.6?m?.

22225. （2015年浙江绍兴5分） 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连结PA，PB. 若PB=4，则PA的长为 ▲ 【答案】3或73. 【考点】矩形的判定和性质；勾股定理；分类思想的应用. 【分析】如答图，分两种情况：

当点P与点A在BC同侧时，BACP1是矩形，P1A=BC=3；

当点P与点A在BC异侧时，P2EAP1是矩形，P1A=32?82?73. ∴PA的长为3或73.

6. （2015年浙江温州5分） 已知扇形的圆心角为120°，弧长为2?，则它的半径为 ▲ 【答案】3.

【考点】弧长的计算.

【分析】运用弧长计算公式，将其变形即可求出扇形的半径： 由弧长公式得

120???r?2?，解得：r?3. 1807. （2015年浙江温州5分）图甲是小明设计的带图案的花边作品，该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠，无缝隙）. 图乙中，

AB6?，EF=4cm，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm2，其内部菱形由两BC7组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为 ▲ cm

【答案】

50. 3【考点】菱形和平行四边形的性质；三角形和梯形面积的应用；相似判定和性质；待定系数法、方程思想数形结合思想和整体思想的应用.

【分析】如答图，连接MN、PQ，设MN=2x，PQ=2y，

∵

AB6?，∴可设AB=6k?k>0?，BC=7k. BC72x?7k?3k?54?6k?7k，即?2x?7k??3k?54?42k2①. 27k?4②. 2∵上下两个阴影三角形的面积之和为54， ∴2?∵四边形DEMN、AFMN是平行四边形，∴DE=AF=MN=2x .∵EF=4，∴4x?4?7k，即2x??7k?4??7k??3k?54?42k2，化简，得7k2?4k?36?0. 将②代入①得，??2?解得k1?2, k2??18（舍去）. 75. 2∴AB=12，BC=14，MN=5，x?14?51210?2，解得y?. 易证△MCD∽△MPQ，∴

52y32∴PM=x2?y2?2510025??. 496∴菱形MPNQ的周长为4?2550? 63

1. （2015年浙江杭州8分）如图1，⊙O的半径为r(r>0)，若点P′在射线OP上，满足OP′?OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”，如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′、B′分别

是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长.

BOP'图1O图2AP

【答案】解：∵⊙O的半径为4，点A′、B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，点B在⊙O上， OA=8，

∴OA??OA?42, OB??OB?42，即OA??8?42, OB??4?42. ∴OA??2, OB??4.∴点B的反演点B′与点B重合. 如答图，设OA交⊙O于点M，连接B′M， ∵OM=OB′，∠BOA=60°，∴△OB′M是等边三角形. ∵OA??A?M?2，∴B′M⊥OM.

∴在Rt?OB' M中，由勾股定理得A?B??OB?2?OA2?42?22?23.

【考点】新定义；等边三角形的判定和性质；勾股定理.

【分析】先根据定义求出OA??2, OB??4，再作辅助线：连接点B′与OA和⊙O的交点M，由已知∠BOA=60°判定△OB′M是等边三角形，从而在Rt?OB' M中，由勾股定理求得A′B′的长.

2. （2015年浙江湖州8分）如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连结DE.

（1）若AD=DB，OC=5，求切线AC的长； （2）求证：ED是⊙O的切线.

【答案】解：（1）如答图，连接CD，

∵BC是⊙O的直径，∴?BDC?900，即CD?AB. ∵AD=DB，OC=5，∴AC?BC?2OC?10. （2）证明：如答图，连接OD，

∵?ADC?900，E为AC的中点，

∴DE?EC?1AC.∴?1??2. 2∵OD?OC.∴?3??4.

∵AC是⊙O的切线，∴AC?OC. ∴?1??3??2??4?900，即DE?OD. ∴ED是⊙O的切线.

【考点】圆周角定理；等腰三角形的判定和性质；切线的判定和性质.

【分析】（1）作辅助线：连接CD，由BC是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角的性质得到CD?AB，，从而易得AC?BC?2OC?10.

（2）作辅助线：连接OD，一方面，根据等腰三角形等边对等角的性质得到?ODE??OCE，另一方面，由AC是⊙O的切线，根据切线的性质得到AC?OC，从而得到证明.

3. （2015年浙江金华10分）图1，图2为同一长方体房间的示意图，图2为该长方体的表面展开图.（1）蜘蛛在顶点A'处①苍蝇在顶点B处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；②苍蝇在顶点C处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD爬行的最近路线A'GC和往墙面BB'C'C爬行的最近路线A'HC，试通过计算判断哪条路线更近？

（2）在图3中，半径为10dm的⊙M与D'C'相切，圆心M到边CC'的距离为15dm，蜘蛛P在线段AB上，苍蝇Q在⊙M的圆周上，线段PQ为蜘蛛爬行路线。若PQ与⊙M相切，试求PQ的长度的范围.

【答案】解：（1）①如答图1，连结A'B，线段A'B就是所求作的最近路线.

②两种爬行路线如答图2所示， 由题意可得：

在Rt△A'C'C2中， A'HC2=A'C'?C'C2?70?30?5800 (dm)；

2222在Rt△A'B'C1中， A'GC1=A'B'2?B'C12?402?602?5200(dm) ∵5800＞，∴路线A'GC1更近.

（2）如答图，连接MQ，

∵PQ为⊙M的切线，点Q为切点， ∴MQ⊥PQ.

∴在Rt△PQM中，有PQ2=PM2－QM2= PM2－100， 当MP⊥AB时,MP最短，PQ取得最小值，如答图3, 此时MP=30+20=50，

∴PQ=PM2?QM2?502?102?206 (dm). 当点P与点A重合时, MP最长，PQ取得最大值，如

答图4,

过点M作MN⊥AB，垂足为N， ∵由题意可得 PN=25，MN=50，

∴在Rt△PMN中，PM2?AN2?MN2?252?502. ∴

22PQ=PM?QM?在Rt△PQM中，

252?502?102?55 (dm).

综上所述， PQ长度的取值范围是206dm?PQ?55dm.

【考点】长方体的表面展开图；双动点问题；线段、垂直线段最短的性质；直线与圆的位置关系；勾股定理. 【分析】（1）①根据两点之间线段最短的性质作答.

②根据勾股定理，计算两种爬行路线的长，比较即可得到结论.

（2）当MP⊥AB时,MP最短，PQ取得最小值；当点P与点A重合时, MP最长，PQ取得最大值.

求出这两种情况时的PQ长即可得出结论.

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