华罗庚学校数学课本四年级（下）(8)

说明：对于比较复杂的情况，经常用分类的想法进行考虑，从而得到问题的完整答案．对于此题，同学们不妨思考一下：若从中取出198或200个数，结论又是怎样？

例4 把1、2、3、4、5、6这六个数字分别填入右面的表格中，每格只填一个数字，使每一行右边的数字比左边的大，每一列下面的数字比上面的大，共有多少种不同的填法？

分析 为了叙述方便，我们先把这六个空格中所填的数字用字母a、b、c、d、e、f来表示．

因为在这六个数字中，1最小，6最大，所以先考虑1和6这两个数字．

1只能填在a处，因为1若填在其他五个格中，则从剩下的五个数字中找不出比1还小的数填在1的左边或上面．6只能填在f处（同理）．

现在考虑5.5只能填在c处或e处．因为5若放在b处或d处，则从剩下的2、3、4中找不出比5大的数填在e处． ①若c=5，则b、d、e三格只能填2、3和4这三个数字，因为e＞b，且e＞d，所以e=4，共有以下两种填法： b=2，d=3，e=4和b=3，d=2，e=4．

②若e=5，则b、c、d三格只能填2、3和4，因为c＞b，所以c=3或4，共有以下三种填法： b=2，c=3，d=4；b=2，c=4，d=3 和b=3，c=4，d=2．

综上所述，共有5种不同的填法． 解：共有5种不同的填法，它们是：

说明：在考虑1和6以后，也可以接着考虑2，请同学们不妨试一试．

例5 任取一个四位数乘以9801，用A表示其积的各位数字之和，用B表示A的各位数字之和，用C表示B的各位数字之和，那么C为多少？

解：任一个四位数乘以9801的积，必然小于98010000，数字和最大不超过97999999的数字和，即A?937+7=70． 在小于70的两位数中，数字和最大的为69，6+9=15，因此B?15．

在小于15的自然数中，数字和最大的为9，所以C?9．因为9801能被9整除，所以四位数与9801的积也能被9整除，所以A、B、C均能被9整除，因此C=9．

例6 用1～9这九个数字组成一个没有重复数字的九位数，且能被11整除，问这个九位数最大是多少？ 解法1：先把由1～9这九个数字组成的没有重复数字的最大九位数排出来为：987654321． 因为（9+7+5+3+1）-（8+6+4+2）=5，所以 987654321不能被11整除．

适当调换偶数位与奇数位上的数字，使调换后奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差为11的倍数．因为在5个奇数，4个偶数之间进行加、减法运算（每个数只用一次）所得的结果必定为奇数，因此不能使奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差变为偶数，只能为奇数．因此，应使两者的差从5变为11． 11-5=6，6÷2=3，所以把1与4对换，得987651324能被11整除．

为使这个九位数为最大，再次进行调换，98765 1 3 2 4，即2与1对换，3与4对换．（这次调换只能是奇数位上的数字互换，偶数位上的数字互换，这样调换后的九位数仍能被11整除．） 因此，得所求的九位数为987652413．

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由于A+B=45，所以A、B必然为一个奇数一个偶数，于是A-B为奇数，故取k=1

a6+a8=17-（8+6）=3，

3只能等于1和2这两个自然数的和，所以合要求的九位数为987652413．

习题十二

1．一个四位数，划掉它的个位数字得第二个数；划掉它的个位、十位上的数字得第三个数．已知这三个数的和为4212，求这个四位数．

2．已知数87888990?153154155是由自然数87到155依次排列而成的，从左至右第88位上的数字是几？

3．把44444444写成多位数时，它的各个数位上的数字和为A，A的各个数位上的数字和为B，求B的各个数位上的数字和．

4．把1～9这九个数字填入下面的九个空格中，每个空格只填一个数字，每个数字只许用一次．问能否使每相邻三个格内数字之和均小于14？若能，给出一种具体的填法；若不能，请说明道理．

5．1、7、13、19、?、1003中，任意找出135个数，把它们乘起来，积的个位数字是什么？ 6．用1～9这九个数字组成没有重复数字的九位数，且能被11整除，问这个九位数最小是几？

第十三讲 三角形的等积变形

我们已经掌握了三角形面积的计算公式： 三角形面积=底3高÷2

这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）．同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来

角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系． 为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等．

②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等． ③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．

，它们所对的顶点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等．

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同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍． 例如在右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等．

例如右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），△ABC的高是△DBC高的2倍（D是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE），则△ABC的面积是△DBC面积的2倍．

上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据．

例1 用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．

方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC等积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等积．

例2 用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4．

方法 1：如下左图，将BC边八等分，取1∶3∶4的分点D、E，连结AD、AE，从而得到△ABD、△ADE、△AEC的面积比为1∶3∶4．

当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决．

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例3 如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△COD面积相等．

证明：∵△ABC与△DBC等底等高， ∴S△ABC=S△DBC

又∵ S△AOB=S△ABC—S△BOC S△DOC=S△DBC—S△BOC ∴S△AOB=S△COD．

例4 如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．

分析 本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，

把顶点A移到CB的延长线上的A′处，△A′BD与△ABD面积相等，从而△A′DC面积与原四边形ABCD面积也相等．这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形△A′DC．问题是A′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A′点． 解：①连结BD；

②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A′． ③连结A′D，则△A′CD与四边形ABCD等积．

例5 如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积． 解法1：连结BD，在△ABD中 ∵ BE=3AE，

∴ S△ABD=4S△ADE=4（平方厘米）． 在△ABC中，∵CD=2AD，

∴ S△ABC=3S△ABD=334=12（平方厘米）． 解法2：连结CE，如右图所示，在△ACE中， ∵ CD=2AD，

∴ S△ACE=3S△ADE=3（平方厘米）． 在△ABC中，∵BE=3AE ∴ S△ABC=4S△ACE =433=12（平方厘米）．

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例7 如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积．

解：连结AF、CE，∴S△ADE=S△ACE；S△CDF=S△ACF；又∵AC与EF平行，∴S△ACE=S△ACF； ∴ S△ADE=S△CDF=4（平方厘米）．

例8 如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积．

解：连结BD，将四边形ABCD分成两个部分S1与S2．连结FD，有S△FBD=S△DBC=S1 所以S△CGF=S△DFC=2S1． 同理 S△AEH=2S2，

因此S△AEH+S△CGF=2S1+2S2=2（S1+S2）=231=2．

同理，连结AC之后，可求出S△HGD+S△EBF=2所以四边形EFGH的面积为2+2+1=5（平方单位）．

例9 如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S△ADE=1，求△BEF的面积．

解：连结AC，∵AB//CD，∴S△ADE=S△ACE 又∵AD//BC，∴S△ACF=S△ABF

而 S△ACF=S△ACE+S△AEF∶S△ABF=S△BEF+S△AEF ∴ S△ACE=S△BEF ∴S△BEF=S△ADE=1．

习题十三

一、选择题（有且只有一个正确答案）：

1．如下左图，在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与△ABE等积的三角形一共有______个．

（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个

2．如上右图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与△BEC等积的三角形一共有______个．

（A）0个 （B）1个（C）2个 （D）3个

3．如下左图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有______对． （A）0对 （B）1对（C）2对 （D）3对

4．如上右图，是一个长方形花坛，阴影部分是草地，空地是四块同样的菱形，那么草地与空地面积之比是______． （A）1∶1 （B）1∶1.1 （C）1∶1.2 （D）1∶1.4

5．如右图，长方形AEGK四周上共有12个点，相邻两点的距离都是1厘米，以这些点为顶点构成的三角形面积是3平方厘米的共有______个．

（A） 24个 （B） 25个（C） 26个 （D） 27个

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