第四类，经过F点的路线，从A经F到B只有一种走法． 最后由加法原理即可求解．
解：如上右图，从A到B共有下面的走法： 从A经C到B共有232=4种走法； 从A经D到B共有434=16种走法； 从A经E到B共有1种走法； 从A经F到B共有1种走法． 所以，从A到B共有： 4+16+1+1=22 种不同的走法．
习题二
1．如右图，从甲地到乙地有三条路，从乙地到丙地有三条路，从甲地到丁地有两条路，从丁地到丙地有四条路，问：从甲地到丙地共有多少种走法？
2．书架上有6本不同的画报和7本不同的书，从中最多拿两本（不能不拿），有多少种不同的拿法？
3．如下图中，沿线段从点A走最短的路线到B，各有多少种走法？
4．在1～1000的自然数中，一共有多少个数字0？
5．在1～500的自然数中，不含数字0和1的数有多少个？
6．十把钥匙开十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，问：最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来？
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第三讲 排 列
在实际生活中常遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法．就是排列问题．在排的过程中，不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．
例如 某客轮航行于天津、青岛、大连三个城市之间．问：应准备有多少种不同船票？ 分析这个问题，可以用枚举法解决，三个城市之间，船票有下面六种设置方式：
如果不用枚举法，注意到要准备的船票的种类不仅与所选的两个城市有关，而且与这两个城市作为起点、终点的顺序有关，所以，要考虑共准备多少种不同的船票，就要在三个城市之间每次取出两个，按照起点、终点的顺序排列． 首先确定起点站，在三个城市中，任取一个为起点站，共有三种选法．
其次确定终点站，每次确定了一个起点站后，只能从剩下的两个城市之中选终点站，共有两种选法． 由乘法原理，共需准备： 332=6
种不同的船票．
为叙述方便，我们把研究对象（如天津、青岛、大连）看作元素，那么上面的问题就是在三个不同的元素中取出两个，按照一定的顺序排成一列的问题．我们把每一种排法叫做一个排列（如天津——青岛就是一个排列），把所有排列的个数叫做排列数．那么上面的问题就是求排列数的问题．
一般地，从n个不同的元素中任取出m个（m?n）元素，按照一定的顺序排成一列．叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
由排列的定义可以看出，两个排列相同，不仅要求这两个排列中的元素完全相同，而且各元素的先后顺序也一样．如果两个排列的元素不完全相同．或者各元素的排列顺序不完全一样，则这就是两个不同的排列．
第一步：先排第一个位置上的元素，可以从n个元素中任选一个，有n种不同的选法；
第二步：排第二个位置上的元素．这时，由于第一个位置已用去了一个元素，只剩下（n-1）个不同的元素可供选择，共有（n-1）种不同的选法；
第三步：排第三个位置上的元素，有（n-2）种不同的选法； ?
第m步：排第m个位置上的元素．由于前面已经排了（m-1）个位置，用去了（m-1）个元素．这样，第m个位置上只能从剩下的[n-（m-1）]=（n-m+1）个元素中选择，有（n-m+1）种不同的选法． 由乘法原理知，共有： n（n-1）（n-2）?（n-m+1） 种不同的排法，即：
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例2 有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？
分析 这里五面不同颜色的小旗就是五个不同的元素，三面小旗表示一种信号，就是有三个位置．我们的问题就是要从五个不同的元素中取三个，排在三个位置的问题．由于信号不仅与旗子的颜色有关，而且与不同旗子所在的位置有关，所以是排列问题，且其中n=5，m=3． 解：由排列数公式知，共可组成
种不同的信号．
补充说明：这个问题也可以用乘法原理来做，一般，乘法原理中与顺序有关的问题常常可以用排列数公式做，用排列数公式解决问题时，可避免一步步地分析考虑，使问题简化．
例3 用1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个没有重复数字的五位数？ 分析 这是一个从8个元素中取5个元素的排列问题，且知n=8，m=5． 解：由排列数公式，共可组成：
个不同的五位数．
例4 幼儿园里的6名小朋友去坐3把不同的椅子，有多少种坐法？
分析 在这个问题中，只要把3把椅子看成是3个位置，而6名小朋友作为6个不同元素，则问题就可以转化成从6个元素中取3个，排在3个不同位置的排列问题． 解：由排列数公式，共有：
种不同的坐法．
例5 幼儿园里3名小朋友去坐6把不同的椅子（每人只能坐一把），有多少种不同的坐法？
分析 与例4不同，这次是椅子多而人少，可以考虑把6把椅子看成是6个元素，而把3名小朋友作为3个位置，则问题转化为从6把椅子中选出3把，排在3名小朋友面前的排列问题． 解：由排列公式，共有：
种不同的坐法．
例6 有4个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他3人拍照，共可能有多少种拍照情况？（照相时3人站成一排）
分析 由于4人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有3人，可以看成有3个位置由这3人来站．由于要选一人拍照，也就是要从四个人中选3人照相，所以，问题就转化成从四个人中选3人，排在3个位置中的排列问题．要计算的是有多少种排法．
解：由排列数公式，共可能有：
种不同的拍照情况．
例7 4名同学到照相馆照相．他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？
分析 4个人到照相馆照相，那么4个人要分坐在四个不同的位置上．所以这是一个从4个元素中选4个，排成一列的问题．这时n=4，m=4．
解：由排列数公式知，共有
种不同的排法．
一般地，对于m=n的情况，排列数公式变为
表示从n个不同元素中取n个元素排成一列所构成排列的排列数． 这种n个排列全部取出的排列，叫做n个不同元素的全排列．
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（2）式右边是从n开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为n！，读做n的阶乘，则（2）式可以写为：
例9 5个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有多少种不同的站法？
分析 由于甲必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排列问题，且n=4． 解：由全排列公式，共有
种不同的站法．
习题三
1．计算
2．某铁路线共有14个车站，这条铁路线共需要多少种不同的车票．
3．有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面上、下挂在旗杆上都可以表示一种信号，问共可以组成多少种不同的信号？
4．班集体中选出了5名班委，他们要分别担任班长，学习委员、生活委员、宣传委员和体育委员．问：有多少种不同的分工方式？
5．由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少没有重复数字的 ①三位数？
②个位是5的三位数？ ③百位是1的五位数？ ④六位数？
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第四讲 组合
日常生活中有很多“分组”问题.如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等.这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题.
例如 某客轮航行于天津、青岛、大连三个城市之间.那么，船票共有几种价格（往返票价相同）？ 注意到由天津到青岛的票价与从青岛到天津的票价是一样的，所以问题实际上就是计算从三个城市中取两个城市，有多少种不同的取法，即这时只与考虑的两个城市有关而与两个城市的顺序无关. 由枚举法知，共有下面的三种票价： 天津←→青岛 青岛←→大连 大连←→天津
我们把研究对象（如天津、青岛、大连）看作元素，那么上面的问题就是从3个元素中取出2个，组成一组的问题，我们把每一组叫做一个组合，把所有的组合的个数叫做组合数，上面的问题就是要求组合数.
一般地，从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
由组合的定义可以看出，两个组合是否相同，只与这两个组合中的元素有关，而与取到这些元素的先后顺序无关.只有当两个组合中的元素不完全相同时，它们才是不同的组合.
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数.记作Cmn.
如上面的例子，就是要计算从3个城市中取2个城市的组合数C23，由枚举法得出的结论知：C23＝3. 那么它是怎样计算出来的呢？ 从第三讲开头的例子，即准备天津、青岛、大连三个城市之间的船票的问题发现，这个问题实际上可以这样分两步完成：第一步是从三个城市中选两个城市，是一个组合问题，由组合数公式，有取C23法.第二步是将取出的两个城市进行排列，由全排列公式，有P23种排法，所以，由乘法原理得到P23＝C23×P23.故有： C23＝P23÷P22＝（3×2）÷2＝3.
例1 计算：①C26，C46；②C27，C57.
注意到上面的结果中，有C26=C46，C27=C57. 一般地，组合数有下面的重要性质： Cmn＝Cn-mn （m≤n）
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