华罗庚学校数学课本四年级（下）(7)

第十一讲 简单的幻方及其他数阵图

有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年，它是具有独特形式的填数字问题.宋朝的杨辉将幻方命名为“纵横图.”并探索出一些解答幻方问题的方法.随着历史的进展，许多人对幻方做了进一步的研究，创造了许多绚丽多彩的幻方. 据传说在夏禹时代，洛水中出现过一只神龟，背上有图有文，后人称它为“洛书”. 洛书所表示的幻方是在333的方格子里（即三行三列），按一定的要求填上1～9这九个数，使每行、每列、及二条对角线上各自三数之和均相等，这样的333的数阵阵列称为三阶幻方.

一般地说，在n3n（n行n列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上n2个连续的自然数（一般从1开始，也可不从1开始）每个数占一格，并使排在任一行、任一列和两条对角线上的n个自然数的和都相等，这样的数表叫做n阶幻方.这个和叫做幻和，n叫做阶.

杨辉在《续古摘奇算法》中，总结洛书幻方构造方法时写到：“九子排列，上、下对易，左右相更，四维挺出.”现用下图对这四句话进行解释.

九子排列 上、下对易 左右相更 四维挺出

怎样构造幻方呢？一般方法是先求幻和，再求中间位置的数，最后根据奇、偶情况试填其他方格内的数. 下面我们就来介绍一些简单的幻方.

例1 将1～9这九个数，填入下左图中的方格中，使每行、每列、两条对角线上三个数字的和都相等. 分析 为了便于叙述，先用字母表示图中要填写的数字.如上右图所示. 解答这个题目，可以分三步解决：

①先求出每行、每列三个数的和是多少？ ②再求中间位置的数是多少？此题是求E=？ ③最后试填其他方格里的数. ∵A+B+C+D+E+F+G+H+I =1+2+3+4+5+6+7+8+9 =45.

∴A+B+C=D+E+F=G+H+I=15. ∴B+E+H=A+E+I=C+E+G=15. ∴A+B+C+D+E+F+G+H+I+3E =（A+E+I）（B+E+H）+（C+E+G）+（D+E+F） =15X4. 45+3E=60 3E=15 E=5.

这样，正中央格中的数一定是5.

由于在同一条直线的三个数之和是15，因此若某格中的数是奇数，那么与这个数在同一条直线上的另两个数的奇偶性相同.

因此，四个角上的数A、C、G、I必为偶数.（否则，若A为奇数，则I为奇数.此时若B为奇数，则其余所有格亦为奇数；若B为偶数，则其余所有格亦为偶数.无论哪种情形，都与1至9中有5个奇数，4个偶数这一事实矛盾.） 因此，B、D、F、H为奇数.

我们不妨认为A=2（否则，可把333方格绕中心块旋转即能做到这一点）.此时I=8. 此时有两种选择：C=4或G=4.因而，G=6或C=6.其他格的数随之而定.

因此，如果把经过中心块旋转而能完全重合的两种填数法视作一种的话，一共只有两种不同的填数法：A=2，C=4或A=Z，G=4（2，4被确定位置后，其他数的位置随之而定）. 解：按照上面的分析，我们可以得到两个解（还有另外6个可以由这两个解经过绕中心块旋转而得到，请大家自己完成）

例2 在右图中的A、B、C、D处填上适当的数，使右图成为一个三阶幻方. 分析与解答

①从1行和3列得： A+12+D=D+20+11 A+12=20+11

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A=19.

②观察对角线上的三个数的总和，实际上它即为每行、每列的三个数的和.对角线上的三个数的和： A+15+11=19+15+11=45. ③B=45-（16+19）=10. ④D=45-（20+11）=14. ⑤C=45-（16+11）=18.

∴ A=19、B=10、C=18、D=14.

例3 将右图中的数重新排列，使得横行、竖行、对角线上的三个数的和都相等.

分析 已知题目中只给了3个数，22、30、38，而每个数都有3个.很显然，横行、竖行、对角线上的三个数的和是：22+30+38=90.

以A、B、C记这三个数.

如果使得每行、每列（先不要求对角线）都各有一个A、B、C（容易知道，要满足题目要求，必须做到这一点），那么各行、各列的和都为A+B+C=90.

而这只有如下图所示的两种类型的排列方式.

其中第一图中由于A+A+A=90，因此必须A=30；第二图中C+C+C=90，所以C=30.其余各行、各列以及另一对角线上的三数之和都为A+B+C=90.

在第一图中B，C可在22、38中任取；第二图中A、B可在22、38中任取.因此共有4种不同的重新排列法.

解：由分析可知，右图所示为4种不同的重新排列方法中的一种.

例4 将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，分别填入333阵列中的九个方格，使第二行组成的三位数是第一行组成的三位数的2倍，第三行组成的三位数是第一行组成的三位数的3倍.

分析 这一例题比前三个例题要复杂些，但如果我们充分利用题目的要求和1至9这九个数的特性（五奇四偶），那么也能缩小每格中所应填的数的范围，直至完全确定每格中应填的数.为了方便起见，把九个格中的数字用A至I这九个英文字母代替.这样，例如C=2，则F=4，I=6.因而其余六格应

个加式：前两行之和等于第三行.这对于我们用奇偶性去分析加式成立的可能性是有用的.由于个位上的加法没有进位，因此十位上的三个数字不能都为奇数（否则将出现奇数+奇数=奇数的矛盾等式），即8一定是其中的一个十位数字，显然B≠8（否则E=6，与I=6矛盾）.又H≠8（否则，B?8/3，只有B=1.而当B=1时，H至多为5）.因此E=8，这样，B＝9，H=7.最后，由于A＜D＜G必有A=1，D=3，G=5.由于19232=384，19233=576，所以所填的数满足题目要求.

又如，C=4，则F=8，1=2.个位上的加式向十位进1，因此十位上的三个数字都是奇数，因此6是一个百位数字.显然A≠6.如果D=6，则必有A=3，G=9.而B、E、H是1、5、7这三个数，要满足B+E+1=H，只能B=1，E=5，H=7或B=5，E=1，H=7.由于31432≠658，35432≠618，所以此时不满足题目要求.如果G=6，显然A＜3，此时只有A=1，但当A=1时，G＜（1+1）33=6.因而当C=4时，不可能有满足题目要求的填法.

其他的情形可以类似地加以讨论，分别给出肯定的或否定的结论. 解：由分析，下左图是一种符合要求的填法.

由于作为一个加法算式（上两行的和等于第三行），上图只是在十位上的加式向百位进了1，其他两个数位上都没有进位，因此把它的个位移到百位的位置上加式仍然成立，所以上右图也是一种符合要求的填法. 还有两种符合要求的填法，希望同学们利用分析中的方法把它们找出来.

例5 在九宫图中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列位置上填6，如下左图.请你在其他方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和均为27.

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分析 为了叙述方便，我们将其余方格用字母表示，如上右图所示.根据题意可知： A+B+5＝27 （1） 5+C+E＝27 （2） 5+D+G＝27 （3） 6+C+D=27 （4） A+6+E＝27 （5） A+C+G＝27 （6） B+C+F＝27 （7） E+F+G＝27 （8）

由（2）+（4）+（6）-（3）-（5）得知： 3C＝27 C=9.

将C＝9代入（4），D＝12代入（2），则E=13. 将D=12代入（3），则G=10. 将E=13代入（5），则A＝8. 将A=8代入（1），则B=14. 将B=14、C=9代入（7），则F=4.

解：由分析可知，中心方格必须填数字9，其他方格中也只有一种填法.见右图.

例6 请编出一个三阶幻方，使其幻和为24.

分析 ①根据题意，要求其三阶幻方的幻和为24，所以中心数为24÷3=8.

②既然8是中心数，那么与8在一条直线的各个组的其余两数的和为16，想一想哪两个数相加为16呢？ 1+15=16 2+14=26 3+13=16 4+12=16 5+11=16 6+10=16 7+9=16

③按上述条件进行估算后填出，然后再进行调整即可得正确的答案.

九个数字分别填在右图的圆内，使每一横行、每一竖行、两对角线中三个数的和都相等.

①由于分数求和较繁，如果找到上述九个分数分母的最小公倍，将分数扩大后转成整数，问题就易于解决.

[2，3，4，6，12]=12，将九个分数分别扩大12倍，得到6、4、3、2、8、9、1、5、7.而333的幻方是熟知的.如右图所示：

②将上图的每个数除以12就是所求. 解：

例8 如下图的333的阵列中填入了l～9的自然数，构成大家熟知的3阶幻方.现在另有一个333的阵列，请选择9个不同自然数填人9个方格中，使得其中最大者为20，最小者大于5，且要求横加、竖加、对角线方式相加的3个数之和都相等.

分析 ①观察原表中的各数是从1～9不同的九个自然数，其中最大的数是9，最小的数是1，且横加、竖加、对角线方式相加结果相等.

②根据题意，要求新制的幻方最大数为20，而9+11=20，因此，如果原表中的各数都增加11，就能符合新表中的条件

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了.

解：

例9 将1～9这九个数字分别填入下图中两分图中的空格内（其中1和5已填好，使得前两行构成的两个三位数之和等于第三行构成的三位数，并且当每格看成单独一个数时相邻（上、下或左、右）的两格内的数的奇、偶性不同.

分析 由题设条件（即把333阵列看成三位数的加式以及奇偶性的分布）可知，上图（1）中个位上的加式必向十位上进1位（因为偶数+奇数≠偶数），而十位未向百位进位.因此，第三行第三列的奇数小于5，不等于1，必为3，进而第一列第一行和第三行的数分别为7和9.接着可把其余四格中的偶数相继确定.

解：从对上图（1）的分析可得解如下图（1）.对上图（2）进行类似的分析，可得解如下图（2）.

习题十一

1.在下图两分图的空格中填入不大于15且互不相同的自然数（其中已填好一个数），使每一横行、竖列和对角线上的三数之和都等于30.

2.将九个连续自然数填入3行3列的九个空格中，使每一横行及每一竖列的三个数之和都等于60.

3.将从1开始的九个连续奇数填入3行3列的九个空格中，使每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都相等.

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第十二讲 数字综合题选讲

数字指的是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个．数字问题不但有趣，而且还会使我们的思维活跃，思路开阔． 在解答数字问题时，主要用到下面一些知识： ①奇偶数的性质：奇数±奇数=偶数 偶数±偶数=偶数 奇数±偶数=奇数

②自然数被9、11整除的特征：

一个自然数若它的各个数位上的数字和能被9整除，那么这个自然数必能被9整除．反之也成立． （更一般地，一个自然数除以9的余数与它的各个数位上的数字和除以9的余数相同．）

一个自然数若它的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差能被11整除，那么这个自然数必能被11整除．反之也成立．

③自然数分类的思想：分类时注意不重不漏，即某个自然数必属于某一类而且只能属于一类．

此外，还要用到加、减法中数位上的进位、借位，乘法中积的奇偶性与各个乘数的奇偶性的关系，?等等一些知识． 例1 一个四位数，它的个位数字为2，如果将个位数字移作千位数字，原来的千位数字移作百位数字，原来的百位数字移作十位数字，原来的十位数字移作个位数字，那么所得的新数比原数少2889，原数是多少？

这时，此题转为一个数字迷的问题．突破口选在个位． 个位上：c+9=12，可得出c=3． 十位上：b+8+1=13，可得出b=4． 百位上：a+8+1=14．可得出a=5． 千位上：2+2+1=5．

因此，所求的四位数为5432． 例2 自然数列（A）：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、?，把这个数列中一位以上的数的数字全部隔开，作成了新的数列（B）：1、2、3、4、5、6、7、8、9、1、0、1、1、1、2、?．

①（A）数列中的100这个数，个位上的数字0在（B）中是第多少个数字？

②（B）中的第100个数字，是（A）中的第几个数的哪一位上的数字？它是什么？ ③到（B）的第100个数字为止，数字3共有多少个？ 解：①把（A）中的1～100这100个自然数进行分类： 一位数：1～9共9个数字．

两位数：10～99共20390=180（个）数字． 三位数：100共3个数字． 因此，（A）中的100这个数，个位上的数字0在（B）中是第9+180+3=192（个）数字． ②（B）中的前100个数字，把所有一位数减去，还剩100-9=91（个）数字． 由于每一个两位数可以隔成两个数字，所以由91÷2=45??1可知，（B）中的第100个数字，是（A）中的第46个两位数的十位数字．

46+10-1=55，故（B）中的第100个数字为（A）中的55的十位数字，它是5． ③由于55的十位数字不是3，所以可考虑1～54这54个自然数． 个位为3的自然数有：3、13、23、33、43、53，个位上共有6个3． 十位为3的自然数有：30～39，十位上共有10个3．

因此，到（B）的第100个数字为止，数字3共出现了：6+10=16（个）．

例3 从1、5、9、13、?、993中，任意找出199个数，把它们乘起来，积的个位数字是什么？ 解：在1、5、9、?、993中，共有249个自然数．

由于奇数的个位数字只能为：1、3、5、7、9，因此把这些奇数分为两类： 一类是个位数字为5的：5、25、?、985共50个自然数． 另一类是个位数字不为5的：共有249-50=199（个）自然数． 任意取出的这199个自然数分成两种情况进行考虑：

①若这199个自然数中，含有个位数字为5的，则这199个数的乘积的个位必为5． ②若这199个自然数中，不含个位数字为5的，则这199个数的乘积的个位数字为：

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