华罗庚学校数学课本四年级（下）(6)

例7 能否将自然数1～10填入五角星各交点的“○”内使每条直线上的4个数字之和都相等？

分析与解答 不能，用反证法.

假设可以填成数阵图，观察发现：

十个点中的每一个点恰好是两条直线的公共点.因而全部直线（共5条）上数字总和，应该等于全部点上数字总和的2倍.记每条直线上数字和为S，则有 5S=（1+2+3+?+10）32， 从而解出S=22.

10和1必同在某一直线上.不然，如含有10的两条直线都不含有1，这样，这两条线上8个数字（10自然被计上两次）之和（本应为2S）大于等于

2310+2+3+4+5+6+7=47＞44=2S. 形成矛盾.所以10、1必处同一直线.

此外，有三个数字与10不同线，不妨记为x、y、z.

显然x+y+z=｛10数总和｝-｛其余七个数和｝而这｛其余七个数和｝恰好为2S-10.所以x+y+z=55-2322+10=21.已推出10，1共线.进一步看出，1无论在什么位置都与x、y、z三数中的两个共线. 设1与x、y共线，此线上另一数设为v.

则有1+x+y+v=22，从而x+y+v=21.前已证x+y+z=21，因而导致v=z的矛盾.其他情况推证类似，所以没有题设的填法.

习题九

1.将1～9这九个数字分别填入右图中的九个圆圈中，使各条边上的四个圆圈内的数的和相等.

2.将0.01、0.02、?、0.09这九个数分别填入右图九个圆圈内，使每条边上的四个圆圈内的数之和都等于0.2.（此题与题1共用一图）

3.在右图的空白的区域内分别填上1、2、4、6四个数，使每个圆中的四个数的和都是15.

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第十讲 有趣的数阵图（二）

下面我们继续研究有关数阵图的问题.

例1 将1～7这七个自然数分别填入右图的7个小圆圈中，使三个大圆圆周上及内部的四个数之和都等于定数S，并指出这个定数S的取值范围，最小是多少，最大是多少？并对S最小值填出数阵.

分析 为了叙述方便，用字母表示圆圈中的数.通过观察，我们发现，三个大圆上，每个大圆上都有4个小圆，由题设每个大圆上的4个小圆之和为S.从图中不难看出：B是三个圆的公共部分，A、C、D分别是两个圆的公共部分而E、F、G仅各自属于一个圆.这样三个大圆的数字和为：3S=3B+2A+2C+2D+E+F+G，而A、B、?、F、G这7个数的全体恰好是1、2、?、6、7.

∴3S=1+2+3+4+5+6+7+2B+A+C+D. 3S=28+2B+A+C+D.

如果设2B+A+C+D=W，要使S等于定数 即W最小发生于B=1、A=2、C=3、D=4 W最大发生于B=7、A=6、C=5、D=4， 综上所述，得出：

13?S?19即定数可以取13～19中间的整数.

本题要求S=13，那么A=2、B=1、C=3、D=4、E=5、 F=6、 G=7.

注意：解答这类问题常常抓两个要点，一是某种共同的“和数” S.（同一条边上各数和，同一三角形上各数和，同一圆上各数和等等）.

二是全局考虑数阵的各数被相加的“次”数.主要突破口是估算或确定出S的值.从“中心数”B处考虑.（B是三个大圆的公共部分，常根据S来设定B的可能值.这里重视B不是简单地看到B处于几何中心，主要因为B参与相加的次数最多）此处因为定数是13，中心数可从1开始考虑.确定了S和中心数B，其他问题就容易解决了. 解：

例2 把20以内的质数分别填入右图的八个圆圈中，使圈中用箭头连接起来的每条路上的四个数之和都相等.

分析 观察右图，我们发现：

①有3条路，每条路上有4个数，且4个数相加的和要相等.

②图形两端的两个数是三条路的公共起点和终点.因此只要使三条路上其余两个数的和相等，就可以确保每条路上的四个数的和相等.

③20以内的质数共有8个，依次是2、3、5、7、11、13、17、19.如果能从这八个数中选出六个数凑成相等的三对数，问题就可迎刃而解.如要分析，设起点数为X，终点数为y，每条路上4个数之和为S，显然有： 3S=2x+2y+2+3+5+7+11+13＋17+19 =2x+2y+77.

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但这时，中间二个质数之和为47-（19+13）=15，但17＞15，17无处填. 所以S=47是无法实现的.

这题还另有一个独特的分析推理.即惟一的偶质数必处于起点或终点位上.不然，其他路上为4个质数之和，2处于中间位的路上.这条路为3奇1偶相加，另两条路上为4个奇相加，形成矛盾. 再进一步分析，（终点，始点地位对称）始点放上2，终点放上另一个质数，其他6个质数之和必为3的倍数.而经试算，只有终点放上3，而可满足的解法只有一种（已在下图中表出）. 解：

这样，轻而举地可得到：5+19=24，7+17＝24，11+13=24.

例3 把1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分别填入右图中的正方形的各个圆圈中，使得正方形每边上的三个数的和相等. 分析和解 假设每边上的三数之和为

S，四边上中间圆圈内所填数分别为a、b、c、d，那么： a+c=b+d=（1+2+?+8）-2S=36-2S ∴2S＝36-（a+C）＝36-（b+d）

①若S=15，则a+c=b+d＝6，又1+5=2+4=6，试验可得下图

②若S=14，则a+c=b+d=8，又1+7=2+6=3+5=8，试验可得下两图

③若S=13，则a+c=b+d＝10，又2+8＝3+7＝4+610，试验可得下两图

④若S=12，则a+c=b+d＝12，又4+8＝5+7＝12，试验可得下图

例4 在一个立方体各个顶点上分别填入1～9这九个数中的八个数，使得每个面上四个顶点所填数字之和彼此相等，并且这个和数不能被那个没有被标上的数字整除.

试求：没有被标上的数字是多少？并给出一种填数的方法.

分析 为了叙述方便，设没有被标上的数字为a，S是每个面上的四个顶点上的数字之和.由于每个顶点数都属于3个面，所以得到：

6S=33（1+2+3+4+5+6+7+8+9）-3a 6S＝3345-3a 2S＝45-a （1）

根据（1）式可看出：因为左边2S是偶数，所以右边45-a也必须是偶数，故a必须是奇数.又因为根据题意，S不能被a整除，而2与a互质，所以2S不能被a整除，45也一定不能被a整除.” 在奇数数字1、3、5、7、9中，只有7不能整除45，所以可以确定a=7.

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例5 将1～8这八个数标在立方体的八个顶点上，使得每个面的四个顶点所标数字之和都相等. 分析 观察下图，知道每个顶点属于三个面，正方体有6个面，所以每个面的数字之和为： （1+2+3+4+5+6+7+8）33÷6=18.

这就是说明正方体每个面上四个顶点所填数字之和是18.下面有3种填法的提示，作为练习，请读者补充完整. 解：

例6 在下左图中，将1～9这九个数，填人圆圈内，使每个三角形三个顶点的数字之和都相等.

分析 为了便于叙述说明，圆圈内应填的数，先由字母代替.设每个三角形三个顶点圆圈内的数字和为S. 即：A+B+C=S、D+E+F=S、G+H+I=S、 C+G+E=S、A+G+D=S、B+H+E=S、 C+I+F=S.

将上面七个等式相加得到：

2（A+B+C+D+E+F+G+H+I）+C+G+E=7S. 即：A+B+C+D+E+F+G+H+I=3S

又∵A、B、C、D、E、F、G、H、I，分别代表1～9这九个数.即： 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. 3S=45 S=15.

这15就说明每个三角形三个顶点的数字之和是15.

在1～9九个数中，三个数的和等于15的组合情况有以下8种即：（1、9、5）；（1、8、6）；（2、9、4）；（2、8、5）；（3、7、5）；（2、7、6）；（3、8、4）；（4、5、6）；观察九个数字在上述8种情况下出现的次数看，数字2、4、5、6、8都均出现了三次，其他数字均只出现两次，所以，符合题意的组合中的2、8、5和4、5、6可填入图中的圆圈内，这样就得到本题的两个解. 解：

例7 在有大小六个正方形的方框下左图中的圆圈内，填入1～9这九个自然数，使每一个正方形角上四个数字之和相等.

分析 为了叙述方便，我们将各个圆圈内填入字母，如上右图所示.如果设每个正方形角上四个数字之和为S，那么图中六个正方形可得到：

a1+a2+b1+b2=S,a2+b2+a3+b3=S, b1+b2+c1+b2=S,a2+b3+b2+b1=S,

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b2+b2+b3+c3=S,a1+a3+c3+c1=S. 将上面的六个等式相加可得到：

2（a1+a3+c3+c1）+3（a2+b3+b2+b1）+4b2=6S.则4b2＝S 4（a1+a3+c3+c1）+4（a2+b3+b2+b1）+4b2=9S. 于是有：

4（a1+a2+a3+b1+b2+b3+c1+b2+c3）=4345=9S. 9S=4345 S=20.

这就说明每个正方形角上四个数字之和为20. 所以：b2=5.

从而得到：a1+a2+b1=a2+a3+b3=15， b1+c1+b2=b2+c3+b3=15.

由上面两式可得：a1+b1=a3+b3,b1+c1=b3+c3. 如果a2为奇数，则a1+b1和a3+b3均为偶数.

①若a1为奇数，a3为偶数，则b1为奇数，b3为偶数.因为a2+b3+b2+b1=20，所以b2为偶数，则c1为偶数，c3为奇数.但是a1+a2+5+b1=20，而奇数1、3、5、7、9中含有5的任意四个奇数的和不等于20，有矛盾.

②若a1为偶数，a3为偶数，则b1也为偶数，b3也为偶数.因为a2+b3+b2+b1=20，所以b2为奇数，则c1为偶数，c3为偶数，但1～9中只有4个偶数，有矛盾.

③若a1为奇数，a3为奇数，则b1、b3也为奇数，这样1～9中有六个奇数，有矛盾. ④若a1为偶数，a3为奇数，情况与①相同.

综合上述，a2必为偶数.由对称性易知：b2、b2、b1也为偶数.因此a1、a3、c3、c1全为奇数. 这样，就比较容易找到此解. 解：

注：也可以这样想：因为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，中心数用5试填后，余下40，那么大正方形、中正方形对角数字之和一定为10，比如：2+8=10、3+7=10、1+9=10、4+6=10.再利用小正方形调整一下，便可以凑出结果了.

习题十

1.将1～6六个自然数字分别填入下图的圆圈内，使三角形每边上的三数之和都等于定数S，指出这个定数S的取值范围.并对S=11时给出一种填法.

2.将1～10这十个自然数分别填入下左图中的10个圆圈内，使五边形每条边上的三数之和都相等，并使值尽可能大.

3.将1～8填入上右图中圆圈内，使每个大圆周上的五个数之和为21.

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