华罗庚学校数学课本四年级（下）(5)

第八讲 数学游戏

我们在进行竞赛与竞争时，往往要认真分析情况，制定出好的方案，使自己获胜，这种方案就是对策.在小学数学竞赛中，常有与智力游戏相结合而提出的一些简单的对策问题，它所涉及的数学知识都比较简单.但这类题的解答对我们的智力将是一种很有益的锻炼.

例1 甲、乙二人轮流报数，必须报不大于6的自然数，把两人报出的数依次加起来，谁报数后加起来的数是2000，谁就获胜.如果甲要取胜，是先报还是后报？报几？以后怎样报？

分析 采用倒推法（倒推法是解决这类问题一种常用的数学方法）.由于每次报的数是1～6的自然数，2000-1=1999，2000-6=1994，甲要获胜，必须使乙最后一次报数加起来的和的范围是1994～1999，由于1994-1=1993（或1999-6=1993），因此，甲倒数第二次报数后加起来的和必须是1993.同样，由于1993-1=1992，1993-6=1987，所以要使乙倒数第二次报数后加起来的和的范围是1987～1992，甲倒数第三次报数后加起来的和必须是1986.同样，由于1986-1=1985，1986-6=1980，所以要使乙倒数第三次报数后加起来的和的范围是1980～1985，甲倒数第四次报数后加起来的和必须是1979，?.

把甲报完数后加起来必须得到的和从后往前进行排列：2000、1993、1986、1979、?.观察这一数列，发现这是一等差数列，且公差d=7，这些数被7除都余5.因此这一数列的最后三项为：19、12、5.所以甲要获胜，必须先报，报5.因为12-5=7，所以以后乙报几，甲就报7减几，例如乙报3，甲就接着报4（=7-3）. 解： ①甲要获胜必须先报，甲先报5； ②以后，乙报几甲就接着报7减几. 这样甲就能一定获胜.

例2 有1994个球，甲乙两人用这些球进行取球比赛.比赛的规则是：甲乙轮流取球，每人每次取1个，2个或3个，取最后一个球的人为失败者.

①甲先取，甲为了取胜，他应采取怎样的策略？

②乙先拿了3个球，甲为了必胜，应当采取怎样的策略？

分析 为了叙述方便，把这1994个球编上号，分别为1～1994号.取球时先取序号小的球，后取序号大的球.还是采用倒推法.甲为了取胜，必须把1994号球留给对方，因此甲在最后一次取球时，必须使他自己取到球中序号最大的一个是1993（也许他取的球不止一个）.为了保证能做到这一点，就必须使乙最后第二次所取的球的序号为1990（=1993-3）～1992（=1993-1）.因此，甲在最后第二次取球时，必须使他自己所取的球中序号最大的一个是1989.为了保证能做到这一点，就必须使乙最后第三次所取球的序号为1986（=1989-3）～1988（=1989-1）.因此，甲在最后第三次取球时，必须使他自己取球中序号最大的一个是1985，?.

把甲每次所取的球中的最大序号倒着排列起来：1993、1989、1985、?.观察这一数列，发现这是一等差数列，公差d=4，且这些数被4除都余1.因此甲第一次取球时应取1号球.然后乙取a个球，因为a+（4-a）=4，所以为了确保甲从一个被4除余1的数到达下一个被4除余1的数，甲就应取4-a个球.这样就能保证甲必胜.

由上面的分析知，甲为了获胜，必须取到那些序号为被4除余1的球.现在乙先拿了3个，甲就应拿5-3=2个球，以后乙取a个球，甲就取4-a个球.

解： ①甲为了获胜，甲应先取1个球，以后乙取a个球，甲就取4-a个球.

②乙先拿了3个球，甲为了必胜，甲应拿2个球，以后乙取a个球，甲就取4-a个球.

例3 甲、乙两人轮流往一张圆桌面上放同样大小的硬币，规定每人每次只能放一枚，硬币平放且不能有重叠部分，放好的硬币不再移动.谁放了最后一枚，使得对方再也找不到地方放下一枚硬币的时候就赢了.说明放第一枚硬币的甲百战百胜的策略.

分析 采用“对称”思想.

设想圆桌面只有一枚硬币那么大，当然甲一定获胜.对于一般的较大的圆桌面，由于圆是中心对称的，甲可以先把硬币放在桌面中心，然后，乙在某个位置放一枚硬币，甲就在与之中心对称的位置放一枚硬币.按此方法，只要乙能找到位置放一枚硬币，根据圆的中心对称性，甲定能找到与这一位置中心对称的地方放上一枚硬币.由于圆桌面的面积是有限的，最后，乙找不到放硬币的地方，于是甲获胜. 解： （略）.

例4 把一棋子放在如右图左下角格内，双方轮流移动棋子（只能向右、向上或向右上移），一次可向一个方向移动任意多格.谁把棋子走进顶格，夺取红旗，谁就获胜.问应如何取胜？

分析 采用倒推法.由于只能向右、向上或向右上移，要把棋子走进顶格，应让对方最后一次把棋子走到最右边一列的格中，为了保证能做到这一点，倒数第二次应让棋子走进右图中的A格中.（对方从A格出发，只能向右或向上移至最后一列的格中）所以要获胜，应先占据A格.同理可知，每次都占据A～E这五个格中的某一格的人一定获胜. 解： 为保证取胜，应先走.首先把棋子走进E格，然后，不管对方走至哪一格，（肯定不会走进A～D格），先走者可以选择适当的方法一步走进A～D格中的某一格.如此继续，直至对方把棋子走进最后一列的某个格中，此时先走者一步即可走进顶格，夺取红旗，从而获胜.

例5 白纸上画了m3n的方格棋盘（m，n是自然数），甲、乙两人玩画格游戏，他们每人拿一枝笔，先画者任选一格，用笔在该格中心处画上一个点，后画者在与这个格相邻（有一条公共边的两个格叫相邻的格）的一个格的中心处也画上一个点，先画者再在与这个新画了点的格相邻的格的中心画上一个点，后画者接着在相邻的格中再任选一格画上一个点，?，如此反复画下去，谁无法画时谁失败.问：先画者还是后画者有必胜策略？他的必胜策略是什么？（注：已画过点的格子不准再画.）

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分析 m，n是自然数，不定，不妨选几个小棋盘来试试，以便从中找出规律. 131棋盘，先画者胜. 132棋盘，后画者胜. 232棋盘，后画者胜.

233棋盘，后画者胜.后画者的策略如下：233棋盘，总可以事先分割成3个132的小棋盘.后画者采用“跟踪”的方法：先画者在某个132的小盘中某个格内画了点，后画者就在同一个132小盘中的另一格画点；先画者只得去寻找另外的132的小盘，后画者“跟踪”过去；直至先画者找不到新的132小盘，这时，先画者就失败.

由233棋盘的分析过程知：m，n中至少有一个为偶数时，m3n棋盘总可以事先分成一些132或231的小棋盘，利用上面所说的“跟踪”法，后画者有必胜策略.

若m，n都是奇数，先画者事先把m3n棋盘划分成一些132小棋盘后，还剩一个小格.这时，先画者可以先在这个剩下的小格中画点，之后，先画者用“跟踪”法，就归结为m、n至少有一个为偶数的情形，先画者有必胜策略. 综上所述，当m、n中至少有一个为偶数时，后画者有必胜策略；当m、n都为奇数时，先画者有必胜策略. 解： （略）.

例6 现有9根火柴，甲、乙两人轮流从中取1根、2根或3根，直到取完为止.最后数一数各人所得火柴总数，得数为偶数者胜.问先拿的人是否能取胜？应怎样安排策略？ 分析 我们从最简单的情况开始进行考虑.

由于9是奇数，它分成两个自然数的和时，必然一个是奇数，一个是偶数，所以两人中必然一胜一负.由于偶数分成两个自然数的和时，必然同奇或同偶，故无论如何取，都只能平局.因此我们只对火柴总数为奇数的情况加以讨论. 1.如果有1根火柴，那么先取的人必败，后取的人必胜.

2.如果有3根火柴，先取的人可以取2根，后取的人只能取1根，那么先取的人必胜，后取的人必败. 3.如果有5根火柴，不妨设为甲先拿. 甲先拿1根：

①乙拿1根，还剩3根，甲取3根.甲的火柴总数为：1＋3＝4（根），乙的火柴总数为1根，因此甲胜. ②乙拿2根，还剩2根，甲取1根，乙取1根.甲的火柴总数为：1＋1＝2（根），乙的火柴总数为：2＋1＝3（根），因此甲取胜.

③乙拿3根，还剩1根，甲取1根.甲的火柴总数为：1＋1＝2（根），乙的火柴总数为3根，因此甲胜. 因此，如果有5根火柴，先拿的人有必胜的策略. 4.下面讨论7根火柴的情形. 甲先取了3根：

还剩4根，同前面3①～③分析可知甲必胜。 因此，有7根火柴时，先取的人有必胜的策略. 5.最后讨论9根火柴的情形.

①甲先取1根，乙取3根，还剩5根.

（a）甲取1根，还剩4根，乙取3根，甲取1根，乙胜. （b）甲取2根，还剩3根，乙取3根，乙胜.

（c）甲取3根，还剩2根，乙取1根，甲取1根，乙胜. 因此，在甲先取1根的情况下，（乙接着取3根）乙有必胜的策略.

②甲取2根时，还剩7根，这时乙面临7根的情形，乙取3根，不论以后甲怎样取，乙都有必胜的策略. ③甲取3根时，还剩6根；乙取1根，还剩5根.

（a）甲取1根，还剩4根，乙取3根，甲取1根，乙胜. （b）甲取2根，还剩3根，乙取3根，乙胜.

（c）甲取3根，还剩2根，乙取1根，甲取1根，乙胜.

因此在甲先取3根的情况下，乙只要取1根，不论以后甲怎样取，乙都有必胜的策略. 综上所述，先取的人没有必胜的策略，后取的人有必胜的策略. 解： （略）.

习题八

1.甲、乙两人轮流报数，必须报1～4的自然数，把两人报出的数依次加起来，谁报数后加起来的和是1000，谁就取胜.如果甲要取胜，是先报还是后报？报几？以后怎样报？

2.有1994个格子排成一行，左起第一个格子内有一枚棋子，甲、乙两人轮流向右移动棋子，每人每次只能向右移动1格、2格、3格或4格，谁将棋子走到最后一格谁败.那么甲为了取胜，第一步走几格？以后又怎样走？

3.54张扑克牌，两人轮流拿牌，每人每次只能拿1张到4张，谁拿到最后一张谁输，问先拿牌的人怎样确保获胜？

4.n个131的正方形排成一行，左起第一个正方形中放一枚棋子，甲、乙两人交替走这枚棋子，每步可向右移动1格、2格或3格，谁先走到最后一格谁为胜利者.问先走者还是后走者有必胜的策略？

5.如果将例4中的条件改为“得数为奇数者为胜”，那么怎样才能确保取胜？

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第九讲 有趣的数阵图（一）

大家都知道了历史悠久的三阶幻方.再推广一些，结合某些几何图形，把一些数字填入图形的某种位置上，并使数字满足一定的约束条件，这类问题，习惯上称为“数阵图”.幻方是特殊的数阵图，幻方发展较快，因为它后来与试验方案设计及一些高深数学分支有关，成为数阵图中最重要课题.本讲主要介绍一般数阵图及解此类题的推理思考方法，由于它既有数字之间运算，又要结合图形，对开发学生综合思考和形象思维很有益. 先看例题.

例1 下面图形包括六个加法算式，要在圆圈里填上不同的自然数，使六个算式都成立，那么最右边圆圈中的数最少是几？

分析 为便于说理，各圆圈内欲填的数依次用字母A、B、C、D、E、F、G、H、I代替（上右图）.

经观察，I=A+B+C+D.题目要I尽可能小，最极端的想法，希望A、B、C、D只占用1、2、3、4.但这会产生矛盾.因为1总要和2、3、4中的某两个实施加法，但1＋2给予G、H、E、F中某值为3与A、B、C、D中已有的3冲突；同样1+3给于G、H、E、F中某值为4又与A、B、C、D中已有的4冲突；所以A、B、C、D不能是1、2、3、4. 那么退而求之，不妨先设A=1.如先考虑B，B尽可能小，最好，B=2，从而决定了E=3，C≠3，D≠3.

这样一来，C，D只能取4和5.但如C=4导致G=5和D=5冲突，而C=5，D=4，又导致G=A+C=6和H=B+D=2+4=6冲突.

在碰了钉子后，回看在A=1设定后，不应随随便便先填B的值.从结构上看，因为B，C地位对称，不妨先考虑D.D尽可能小，最好设D=2，B、C至少取3、5，若如此，由B+D或C+D产生的5会与B、C中已有的5矛盾.

所以，B、C可能取3、6.从而形成了：A=1、D=2、B、C取3、6（B，C地位对称）.这样一来其他字母所代表的值就立即推出，不妨设B=3，C=6，A+B=E=4，C+D=6+2=8=F；A+C=1+6=7=G，B+D=3+2=5=H，恰 好满足E+F=4+8=12=I；G+H=7+5=12=I； 综上所述：A=1，D=2，B=3，C=6决定了其他值，且决定了I=12.是一个较小的I的值，自然要问I值还可能比12小吗？ 分析I的值有三种不同的获得方式： I=A+B+C+D=E+F=G+H. 3I=A+B+C+D+E+F+G+H，

而8个字母最少是代表1、2、?、7、8的情况. 3I?（1+2+?+7+8）=36，I?12.

现已推出了使I=12的一种填法，所以是最佳方案了.

例2 如右图，五圆相连，每个位置的数字都是按一定规律填写的，请找出规律，并求出x所代表的数. 分析 经观察，图中所填数的规律为两个圆相交部分的数等于与它相邻两部分里的数的和的一半.比如： （26+18）÷2=22. （30+26）÷2=28. （24+30）÷2=27. 解： x+18=1732 x=16.

经检验，16和24相加除以2，也恰好等于20.

例3 在下图中的各题中，将从1开始的连续自然数填入各题的圆圈中，要使每边上的数字之和都相等，中心处各有几种填法？（每小题请给出一个解）

分析1 图（A）中的中心圆填入的数设为x，x参与3条线的连加，设每条线数字和都为S.由题意： 1+2+3+?+7+2x=3S

即28+2x=3S或28+2x≡0（mod 3）

借用同余工具，是在两个未知数的不定方程中先缩小x应该取值的范围.在mod3情况下，只要试探x≡0，1，2三个值，很轻松地解出：x≡1（mod3），回复到x取值范围为1，2，?，7.有x1=1，x2=4，x3=7，

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得到：x1=1，S1=10；x2=4，S2=12；x3=7，S3=14；

由此看出关键在求S（公共和）及x（参与相加次数最多的圆中值）. 此方法对下面解（B）、（C）、（D）.都适用.

注意：每条线上的数字之和随着中心数的变化而变化. 分析2 我们分析图（B），首先应该考虑中心数，（B）题共10个数，由于中心数比其他数多使用了二次（总共使用三次）.如果中心数用x表示，三条边的数码总和应为： 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+2x=55+2x

同理，因为是3条边，所以55+2x应是3的倍数55+2x≡0（mod 3），把x≡0、1、 2代入试验，得x≡1（mod 3），即x=1、4、7、10.四种解.

①当x=1时，55+2x=57，57÷3=19 ②当x=4时，55+2x=63，63÷3=21 ③当x=7时，55+2x=69，69÷3=23 ④当x=10时，55+2x=75，75÷3=25

读者可按照上面相似的规律自己去分析一下图中（C）、（D）两题. 解：（A）图：

中心数可以为1、4、7，有三种填法，请读者补充其他两种解法. （B）图：

中心数可以为1、4、7、10.有四种填法，请你补充其他三种填法. （C）图：

中心数可以为1、5、9.有三种填法，请你补充其他两种填法. （D）图：

中心数可以为1、6、11.有3种填法，请你补充其他两种填法.

例4 在下左图的七个圆圈内各填上一个数，要求每条线上的三个数中，当中的数是两边两个数的平均数，现在已填好两个数，求x是多少？

分析 为了便于说明问题，我们用字母表示各个圆圈内所表示的数，如上右图所示：

根据题意，我们观察：因为每一条直线上的三个数中，当中的数是两边的两个数的平均数.所以可以得出：D=（13+17）÷2=15.还可以得出以下三式：

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C=（B+15）÷2 （1） A=（13+B）÷2 （2） C=（A+17）÷2 （3）

将上述三个算式进行变形，成下面三个算式： 2C=B+15 （4） 2A=13+B （5） 2C=A+17 （6）

用（4）式减去（5）式得出： 2C-2A=2 C-A=1 C=A+1

将C=A+1代入（6）式得到： 2（A+1）=A+17，A=15. x=19.

例5 如下左图有5个圆，它们相交后相互分成几个区域，现在两个区域里已分别填上数字10、6，请在另外七个区域里分别填进2、3、4、5、6、7、9七个数字，使每个圈内的数的和都是15.

分析 为了便于说明，我们用字母表示其他的7个区域.如上右图. 根据题意可以得出：A=5、G=9，九个区域中数的总和为：（2+3+4+5+6+7+9）+10+6=52，而每个圆圈内数的和是15，五个圆圈内数的总和为：1535=75，又75-52=23，由此得出重叠的部分的四个数A、C、E、G的和是23.由于A=5和G=9已经填好，因此，余下的两个部分C+E的和是：23-5-9=9，此时9只有两种分解的可能：2+7=9、3+6=9.在E、F、G这个圆圈内，∵G=9，∴E不能填6、7.也不能填3（否则F也等于3），只能填2，这样，E=2，C=7. 解：

例6 如下左图所示4个小三角形的顶点处共有6个圆圈.如果在这些圆圈中分别填上6个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三顶点上的数之和相等，问这6个质数的积是多少？

分析 为了叙述方便，我们用字母表示图中圆圈里的数.如上右图所示.通过观察，我们不难发现，小三角形A1B2C2和小三角形A2B2C2有两个共同的顶点B2，C2，而这两个小三角形顶点上数字的和相等.因此A1=A2.同理有B1=B2，C1=C2，所以，此图只能填A、B、C三个质数（两个A、两个B、两个C.以下：A1=A2记为A，B1=B2记为B，C1=C2记为C） ∵6个圆圈中的6个质数之和为20，即： 23（A+B+C）=20 A+B+C=10.

∴10分成三个质数之和只能是10=2+3+5.这样，A、B、C分别是2、3、5.这时所填6个数的积是：23233333535=900. 解：

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