2013圆经典中考试题(含解析)(8)

∵∠A=30°， ∴∠AOB=60°， ∵OB=OC， ∴∠OCB=∠OBC=∠AOB=30°， ∴∠A=∠OCB， ∴AB=BC； （2）连接OD， ∵∠AOB=60°， ∴∠BOC=120°， ∵D为∴=的中点， ，∠BOD=∠COD=60°， ∵OB=OD=OC， ∴△BOD与△COD是等边三角形， ∴OB=BD=OC=CD， ∴四边形BOCD是菱形． 点评： 此题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、菱形的判定以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 26．（2013?资阳）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD． （1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；

（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．

考点： 垂径定理；含30度角的直角三角形；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）． 分析： （1）过点O作OE⊥AC于E，根据垂径定理可得AE=AC，再根据翻折的性质可得OE=r，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理列式计算即可得解； （2）连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，

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再根据翻折的性质得到所对的圆周角，然后根据∠ACD等于所对的圆周角减去所对的圆周角，计算即可得解． 解答： 解：（1）如图，过点O作OE⊥AC于E， 则AE=AC=×2=1， ∵翻折后点D与圆心O重合， ∴OE=r， 在Rt△AOE中，AO=AE+OE， 即r=1+（r）， 解得r=； 222222 （2）连接BC， ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠BAC=25°， ∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣25°=65°， 根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC， ∴∠ADC+∠B=180°， ∴∠B=∠CDB=65°， ∴∠DCA=∠CDB﹣∠A=65°﹣25°=40°． 点评： 本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，翻折的变换的性质，以及圆周角定理，（1）作辅助线构造出半径、半弦、弦心距为边的直角三角形是解题的关键，（2）根据同弧所对的圆周角相等求解是解题的关键． 27．（2013?柳州） 如图，将小旗ACDB放于平面直角坐标系中，得到各顶点的坐标为A（﹣6，12），B（﹣6，0），C（0，6），D（﹣6，6）．以点B为旋转中心，在平面直角坐标系内将小旗顺时针旋转90°． （1）画出旋转后的小旗A′C′D′B′； （2）写出点A′，C′，D′的坐标；

（3）求出线段BA旋转到B′A′时所扫过的扇形的面积．

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考点： 作图-旋转变换；扇形面积的计算． 专题： 作图题． 分析： （1）根据平面直角坐标系找出A′、C′、D′、B′的位置，然后顺次连接即可； （2）根据旋转的性质分别写出点A′，C′，D′的坐标即可； （3）先求出AB的长，再利用扇形面积公式列式计算即可得解． 解答： 解：（1）小旗A′C′D′B′如图所示； （2）点A′（6，0），C′（0，﹣6），D′（0，0）； （3）∵A（﹣6，12），B（﹣6，0）， ∴AB=12， ∴线段BA旋转到B′A′时所扫过的扇形的面积==36π． 点评： 本题考查了利用旋转变换作图，扇形的面积计算，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键． 28．（2013?衢州）如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．

（1）求证：直线CD是⊙O的切线； （2）若DE=2BC，求AD：OC的值．

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考点： 切线的判定；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质． 分析： （1）首选连接OD，易证得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO=90°，即可证得直线CD是⊙O的切线； （2）由△COD≌△COB．可得CD=CB，即可得DE=2CD，易证得△EDA∽△ECO，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AD：OC的值． 解答： （1）证明：连结DO． ∵AD∥OC， ∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．…（1分） 又∵OA=OD， ∴∠DAO=∠ADO， ∴∠COD=∠COB．…（2分） 在△COD和△COB中， ， ∴△COD≌△COB（SAS）…（3分） ∴∠CDO=∠CBO=90°． 又∵点D在⊙O上， ∴CD是⊙O的切线．…（4分） （2）解：∵△COD≌△COB． ∴CD=CB．…（5分） ∵DE=2BC， ∴ED=2CD． …（6分） ∵AD∥OC， ∴△EDA∽△ECO．…（7分） ∴．…（8分） 点评： 此题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 29．（2013?扬州）如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于点E，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，且∠ABF=∠ABC． （1）求证：AB=AC；

（2）若AD=4，cos∠ABF=，求DE的长．

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考点： 切线的性质；圆周角定理；解直角三角形． 分析： （1）由BF是⊙O的切线，利用弦切角定理，可得∠3=∠C，又由∠ABF=∠ABC，可证得∠2=∠C，即可得AB=AC； （2）首先连接BD，在Rt△ABD中，解直角三角形求出AB的长度；然后在Rt△ABE中，解直角三角形求出AE的长度；最后利用DE=AD﹣AE求得结果． 解答： （1）证明：∵BF是⊙O的切线， ∴∠3=∠C， ∵∠ABF=∠ABC， 即∠3=∠2， ∴∠2=∠C， ∴AB=AC； （2）解：如图，连接BD，在Rt△ADB中，∠BAD=90°， ∵cos∠ADB=，∴BD====5， ∴AB=3． 在Rt△ABE中，∠BAE=90°， ∵cos∠ABE=，∴BE===， ∴AE==， ∴DE=AD﹣AE=4﹣=． 点评： 此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 30．（2013?黔西南州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C， （1）求证：CB∥PD；

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（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径．

考点： 圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；锐角三角函数的定义． 专题： 几何综合题；压轴题． 分析： （1）要证明CB∥PD，可以求得∠1=∠P，根据=可以确定∠C=∠P，又知∠1=∠C，即可得∠1=∠P； （2）根据题意可知∠P=∠CAB，则sin∠CAB=，即解答： （1）证明：∵∠C=∠P 又∵∠1=∠C ∴∠1=∠P ∴CB∥PD； （2）解：连接AC ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90° 又∵CD⊥AB， ∴=， =，所以可以求得圆的直径． ∴∠P=∠CAB， ∴sin∠CAB=， 即=， 又知，BC=3， ∴AB=5， ∴直径为5． 点评： 本题考查的是垂径定理和平行线、圆周角性质，解题时细心是解答好本题的关键．

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