2013圆经典中考试题(含解析)(7)

∴PA是⊙O的切线． （2）在Rt△OAP中，∵∠P=30°， ∴PO=2OA=OD+PD， 又∵OA=OD， ∴PD=OA， ∵， ∴． ∴⊙O的直径为． 点评： 本题考查了切线的判定及圆周角定理，解答本题的关键是掌握切线的判定定理、圆周角定理及含30°直角三角形的性质． 21．（2013?绵阳）如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE．

（1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）若E是

的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．

考点： 切线的判定；扇形面积的计算． 专题： 计算题． 分析： （1）CD与圆O相切，理由为：由AC为角平分线得到一对角相等，再由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到OC与AD平行，根据AD垂直于CD，得到OC垂直于CD，即可得证； （2）根据E为弧AC的中点，得到弧AE=弧EC，利用等弧对等弦得到AE=EC，可得出弓形AE与弓形EC面积相等，阴影部分面积拼接为直角三角形DEC的面积，求出即可． 解答： 解：（1）CD与圆O相切．理由如下： ∵AC为∠DAB的平分线， ∴∠DAC=∠BAC， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∴∠DAC=∠OCA， ∴OC∥AD， 31

∵AD⊥CD， ∴OC⊥CD， 则CD与圆O相切； （2）连接EB，由AB为直径，得到∠AEB=90°， ∴EB∥CD，F为EB的中点， ∴OF为△ABE的中位线， ∴OF=AE=，即CF=DE=， 在Rt△OBF中，根据勾股定理得：EF=FB=DC=则S阴影=S△DEC=××=． ， 点评： 此题考查了切线的判定，以及平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键． 22．（2013?天津）已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．

（Ⅰ）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （Ⅱ）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．

考点： 切线的性质；圆周角定理；直线与圆的位置关系． 分析： （Ⅰ）如图①，首先连接OC，根据当直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l于点D．易证得OC∥AD，继而可求得∠BAC=∠DAC=30°； （Ⅱ）如图②，连接BF，由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠AFB=90°，由三角形外角的性质，可求得∠AEF的度数，又由圆的内接四边形的性质，求得∠B的度数，继而求得答案． 解答： 解：（Ⅰ）如图①，连接OC， ∵直线l与⊙O相切于点C， ∴OC⊥l， ∵AD⊥l， ∴OC∥AD， 32

∴∠OCA=∠DAC， ∵OA=OC， ∴∠BAC=∠OCA， ∴∠BAC=∠DAC=30°； （Ⅱ）如图②，连接BF， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFB=90°， ∴∠BAF=90°﹣∠B， ∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°， 在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形， ∴∠AEF+∠B=180°， ∴∠B=180°﹣108°=72°， ∴∠BAF=90°﹣∠B=90°﹣72°=18°． 点评： 此题考查了切线的性质、圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 23．（2013?宜宾）如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若点E是

的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．

考点： 切线的判定；相似三角形的判定与性质． 专题： 压轴题． 分析： （1）证明△ADC∽△BAC，可得∠BAC=∠ADC=90°，继而可判断AC是⊙O的切线． （2）根据（1）所得△ADC∽△BAC，可得出CA的长度，继而判断∠CFA=∠CAF，利用等腰三角形的性质得出AF的长度，继而得出DF的长，在Rt△AFD中利用勾股定理可得出AF的长． 解答： 解：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=∠ADC=90°， ∵∠B=∠CAD，∠C=∠C， 33

∴△ADC∽△BAC， ∴∠BAC=∠ADC=90°， ∴BA⊥AC， ∴AC是⊙O的切线． （2）∵△ADC∽△BAC（已证）， ∴=，即AC=BC×CD=36， 2解得：AC=6， 在Rt△ACD中，AD==2， ∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD， ∴CA=CF=6， ∴DF=CA﹣CD=2， 在Rt△AFD中，AF==2． 点评： 本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握切线的判定定理、相似三角形的性质，勾股定理的表达式． 24．（2013?玉溪）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，OF⊥AC于点F， （1）请探索OF和BC的关系并说明理由；

（2）若∠D=30°，BC=1时，求圆中阴影部分的面积．（结果保留π）

考点： 垂径定理；三角形中位线定理；圆周角定理；扇形面积的计算． 分析： （1）先根据垂径定理得出AF=CF，再根据AO=BO得出OF是△ABC的中位线，由三角形的中位线定理即可得出结论； （2）连接OC，由（1）知OF=，再根据直角三角形的性质得出AB及AC的长，根据扇形的面积公式求出扇形AOC的度数，根据S阴影=S扇形AOC﹣S△AOC即可得出结论． 解答： 解：（1）OF∥BC，OF=BC． 理由：由垂径定理得AF=CF． ∵AO=BO， ∴OF是△ABC的中位线． ∴OF∥BC，OF=BC．

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（2）连接OC．由（1）知OF=． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°． ∵∠D=30°， ∴∠A=30°． ∴AB=2BC=2． ∴AC=． ∴S△AOC=×AC×OF=． ∵∠AOC=120°，OA=1， ∴S扇形AOC==． ﹣． ∴S阴影=S扇形AOC﹣S△AOC= 点评： 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 25．（2013?永州）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心在AC上，∠A=30°，D为（1）求证：AB=BC；

（2）求证：四边形BOCD是菱形．

的中点．

考点： 切线的性质；菱形的判定． 专题： 证明题． 分析： （1）由AB是⊙O的切线，∠A=30°，易求得∠OC的度数，继而可得∠B=∠OCB=30°，又由等角对等边，证得AB=BC； （2）首先连接OD，易证得△BOD与△COD是等边三角形，可得OB=BD=OC=CD，即可证得四边形BOCD是菱形． 解答： 证明：（1）∵AB是⊙O的切线， ∴OB⊥AB， 35

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