2013圆经典中考试题(含解析)(5)

∴==． 点评： 本题考查的是图形的翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键． 12．（2013?钦州）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=． （1）求⊙O的半径OD；

（2）求证：AE是⊙O的切线； （3）求图中两部分阴影面积的和．

考点： 切线的判定与性质；扇形面积的计算． 专题： 计算题；压轴题． 分析： （1）由AB为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AB，在直角三角形BDO中，利用锐角三角函数定义，根据tan∠BOD及BD的值，求出OD的值即可； （2）连接OE，由AE=OD=3，且OD与AE平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到OE与AD平行，再由DA与AE垂直得到OE与AC垂直，即可得证； （3）阴影部分的面积由三角形BOD的面积+三角形ECO的面积﹣扇形DOF的面积﹣扇形EOG的面积，求出即可． 解答： 解：（1）∵AB与圆O相切， ∴OD⊥AB， 在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD=∴OD=3； （2）连接OE， ∵AE=OD=3，AE∥OD， ∴四边形AEOD为平行四边形， ∴AD∥EO， ∵DA⊥AE， ∴OE⊥AC， 又∵OE为圆的半径， ∴AC为圆O的切线； （3）∵OD∥AC， ∴=，即=， =， ∴AC=7.5， ∴EC=AC﹣AE=7.5﹣3=4.5， ∴S阴影=S△BDO+S△OEC﹣S扇形FOD﹣S扇形EOG

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=×2×3+×3×4.5﹣=3+=﹣ ． 点评： 此题考查了切线的判定与性质，扇形的面积，锐角三角函数定义，平行四边形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键． 13．（2013?十堰）如图1，△ABC中，CA=CB，点O在高CH上，OD⊥CA于点D，OE⊥CB于点E，以O为圆心，OD为半径作⊙O．

（1）求证：⊙O与CB相切于点E；

（2）如图2，若⊙O过点H，且AC=5，AB=6，连接EH，求△BHE的面积和tan∠BHE的值．

考点： 切线的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质． 专题： 计算题；压轴题． 分析： （1）由CA=CB，且CH垂直于AB，利用三线合一得到CH为角平分线，再由OD垂直于AC，OE垂直于CB，利用角平分线定理得到OE=OD，利用切线的判定方法即可得证； （2）由CA=CB，CH为高，利用三线合一得到AH=BH，在直角三角形ACH中，利用勾股定理求出CH的长，由圆O过H，CH垂直于AB，得到圆O与AB相切，由（1）得到圆O与CB相切，利用切线长定理得到BE=BH，如图所示，过E作EF垂直于AB，得到EF与CH平行，得出△BEF与△BCH相似，由相似得比例，求出EF的长，由BH与EF的长，利用三角形面积公式即可求出△BEH的面积；根据EF与BE的长，利用勾股定理求出FB的长，由BH﹣BF求出HF的长，利用锐角三角形函数定义即可求出tan∠BHE的值． 解答： （1）证明：∵CA=CB，点O在高CH上， ∴∠ACH=∠BCH， ∵OD⊥CA，OE⊥CB， ∴OE=OD， ∴圆O与CB相切于点E； （2）解：∵CA=CB，CH是高， ∴AH=BH=AB=3， 22

∴CH==4， ∵点O在高CH上，圆O过点H， ∴圆O与AB相切于H点， 由（1）得圆O与CB相切于点E， ∴BE=BH=3， 如图，过E作EF⊥AB，则EF∥CH， ∴△BEF∽△BCH， ∴=，即=， =， =， ， 解得：EF=∴S△BHE=BH?EF=×3×在Rt△BEF中，BF=∴HF=BH﹣BF=3﹣=， 则tan∠BHE==2． 点评： 此题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键． 14．（2013?南昌）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，点P（4，2）是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C． （1）证明PA是⊙O的切线； （2）求点B的坐标．

考点： 切线的判定与性质；坐标与图形性质． 专题： 计算题；压轴题． 分析： （1）由AO=2，P的纵坐标为2，得到AP与x轴平行，即PA与AO垂直，即可得到AP为圆O 23

的切线； （2）连接OP，OB，过B作BQ垂直于OC，由切线长定理得到PA=PB=4，PO为角平分线，进而得到一对角相等，根据AP与OC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换并利用等角对等边得到OC=CP，设OC=x，BC=BP﹣PC=4﹣x，OB=2，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出OC与BC的长，在直角三角形OBC中，利用面积法求出BQ的长，再利用勾股定理求出OQ的长，根据B在第四象限，即可求出B的坐标． 解答： （1）证明：∵圆O的半径为2，P（4，2）， ∴AP⊥OA， 则AP为圆O的切线； （2）解：连接OP，OB，过B作BQ⊥OC， ∵PA、PB为圆O的切线， ∴∠APO=∠BPO，PA=PB=4， ∵AP∥OC， ∴∠APO=∠POC， ∴∠BPO=∠POC， ∴OC=CP， 在Rt△OBC中，设OC=PC=x，则BC=PB﹣PC=4﹣x，OB=2， 22222根据勾股定理得：OC=OB+BC，即x=4+（4﹣x）， 解得：x=2.5， ∴BC=4﹣x=1.5， ∵S△OBC=OB?BC=OC?BQ，即OB?BC=OC?BQ， ∴BQ==1.2， =1.6， 在Rt△OBQ中，根据勾股定理得：OQ=则B坐标为（1.6，﹣1.2）． 点评： 此题考查了切线的性质与判定，坐标与图形性质，勾股定理，三角形的面积求法，平行线的性质，以及切线长定理，熟练掌握切线的性质与判定是解本题的关键． 15．（2013?莆田）如图，?ABCD中，AB=2，以点A为圆心，AB为半径的圆交边BC于点E，连接DE、AC、AE．

（1）求证：△AED≌△DCA；

（2）若DE平分∠ADC且与⊙A相切于点E，求图中阴影部分（扇形）的面积．

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考点： 切线的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；扇形面积的计算． 分析： （1）由四边形ABCD是平行四边形，AB=AE，易证得四边形AECD是等腰梯形，即可得AC=DE，然后由SSS，即可证得：△AED≌△DCA； （2）由DE平分∠ADC且与⊙A相切于点E，可求得∠EAD的度数，继而求得∠BAE的度数，然后由扇形的面积公式求得阴影部分（扇形）的面积． 解答： （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD∥BC， ∴四边形AECD是梯形， ∵AB=AE， ∴AE=CD， ∴四边形AECD是等腰梯形， ∴AC=DE， 在△AED和△DCA中， ， ∴△AED≌△DCA（SSS）； （2）解：∵DE平分∠ADC， ∴∠ADC=2∠ADE， ∵四边形AECD是等腰梯形， ∴∠DAE=∠ADC=2∠ADE， ∵DE与⊙A相切于点E， ∴AE⊥DE， 即∠AED=90°， ∴∠ADE=30°， ∴∠DAE=60°， ∴∠DCE=∠AEC=180°﹣∠DAE=120°， ∵四边形ACD是平行四边形， ∴∠BAD=∠DCE=120°， ∴∠BAE=∠BAD﹣∠EAD=60°， ∴S阴影=×π×2=π． 2

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