2013圆经典中考试题(含解析)(4)

∵DF⊥AF，DF是公共边， ∴△CDF≌△HDF（ASA）， ∴FH=CF， ∴AF+CF=AF+FH=AH=AB． 即AF+CF=AB， 点评： 此题考查了切线的性质、弦切角定理、圆周角定理以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 8．（2013?沈阳）如图，OC平分∠MON，点A在射线OC上，以点A为圆心，半径为2的⊙A与OM相切与点B，连接BA并延长交⊙A于点D，交ON于点E． （1）求证：ON是⊙A的切线；

（2）若∠MON=60°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

考点： 切线的判定；扇形面积的计算． 专题： 压轴题． 分析： （1）首先过点A作AF⊥ON于点F，易证得AF=AB，即可得ON是⊙A的切线； （2）由∠MON=60°，AB⊥OM，可求得AF的长，又由S阴影=S△AEF﹣S扇形ADF，即可求得答案． 解答： （1）证明：过点A作AF⊥ON于点F， ∵⊙A与OM相切与点B， ∴AB⊥OM， ∵OC平分∠MON， ∴AF=AB=2， ∴ON是⊙A的切线；

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（2）解：∵∠MON=60°，AB⊥OM， ∴∠OEB=30°， ∴AF⊥ON， ∴∠FAE=60°， 在Rt△AEF中，tan∠FAE=∴EF=AF?tan60°=2， ×π×AF=22， ∴S阴影=S△AEF﹣S扇形ADF=AF?EF﹣﹣π． 点评： 此题考查了切线的判定与性质、扇形的面积以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 9．（2013?西宁）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O直径，作∠CAD=∠B，且点D在BC的延长线上，CE⊥AD于点E．

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为8，CE=2，求CD的长．

考点： 切线的判定；解分式方程；相似三角形的判定与性质． 分析： （1）首先连接OA，由BC为⊙O直径，CE⊥AD，∠CAD=∠B，易求得∠CAD+∠OAC=90°，即∠OAD=90°，则可证得AD是⊙O的切线； （2）易证得△CED∽△OAD，然后设CD=x，则OD=x+8，由相似三角形的对应边成比例，可得方程：，继而求得答案． 解答： （1）证明：连接OA， ∵BC为⊙O的直径， ∴∠BAC=90°， ∴∠B+∠ACB=90°， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∵∠CAD=∠B，

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∴∠CAD+∠OAC=90°， 即∠OAD=90°， ∴OA⊥AD， ∵点A在圆上， ∴AD是⊙O的切线； （2）解：∵CE⊥AD， ∴∠CED=∠OAD=90°， ∴CE∥OA， ∴△CED∽△OAD， ∴，CE=2， 设CD=x，则OD=x+8， 即， 解得x=， 经检验x=是原分式方程的解， 所以CD=． 点评： 此题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用． 10．（2013?柳州）如图，⊙O的直径AB=6，AD、BC是⊙O的两条切线，AD=2，BC=． （1）求OD、OC的长；

（2）求证：△DOC∽△OBC； （3）求证：CD是⊙O切线．

考点： 切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质． 专题： 计算题；压轴题． 18

分析： （1）由AB的长求出OA与OB的长，根据AD，BC为圆的切线，利用切线的性质得到三角形AOD与三角形BOC都为直角三角形，利用勾股定理即可求出OD与OC的长； （2）过D作DE垂直于BC，可得出BE=AD，DE=AB，在直角三角形DEC中，利用勾股定理求出CD的长，根据三边对应成比例的三角形相似即可得证； （3）过O作OF垂直于CD，根据（2）中两三角形相似，利用相似三角形的对应角相等得到一对角相等，利用AAS得到三角形OCF与三角形OCB全等，由全等三角形的对应边相等得到OF=OB，即OF为圆的半径，即可确定出CD为圆O的切线． 解答： （1）解：∵AD、BC是⊙O的两条切线， ∴∠OAD=∠OBC=90°， 在Rt△AOD与Rt△BOC中，OA=OB=3，AD=2，BC=， 根据勾股定理得：OD==，OC==； （2）证明：过D作DE⊥BC，可得出∠DAB=∠ABE=∠BED=90°， ∴四边形ABED为矩形， ∴BE=AD=2，DE=AB=6，EC=BC﹣BE=， 在Rt△EDC中，根据勾股定理得：DC=∵===， =， ∴△DOC∽△OBC； （3）证明：过O作OF⊥DC，交DC于点F， ∵△DOC∽△OBC， ∴∠BCO=∠FCO， ∵在△BCO和△FCO中， ， ∴△BCO≌△FCO（AAS）， ∴OB=OF， 则CD是⊙O切线． 点评： 此题考查了切线的判定与性质，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键． 11．（2013?龙岩）如图①，在矩形纸片ABCD中，AB=+1，AD=．

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（1）如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点D恰好落在AB边上的D′处，压平折痕交CD于点E，则折痕AE的长为 ；

（2）如图③，再将四边形BCED′沿D′E向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，B′C′交AE于点F，则四边形B′FED′的面积为

﹣ ；

（3）如图④，将图②中的△AED′绕点E顺时针旋转α角，得△A′ED″，使得EA′恰好经过顶点B，求弧D′D″的长．（结果保留π）

考点： 翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；弧长的计算． 专题： 探究型． 分析： （1）先根据图形反折变换的性质得出AD′，D′E的长，再根据勾股定理求出AE的长即可； （2）由（1）知，AD′=，故可得出BD′的长，根据图形反折变换的性质可得出B′D′的长，再由等腰直角三角形的性质得出B′F的长，根据梯形的面积公式即可得出结论； （3）先根据直角三角形的性质求出∠BEC的度数，由翻折变换的性质可得出∠DEA的度数，故可得出∠AEA′=75°=∠D′ED″，由弧长公式即可得出结论． 解答： 解：（1）∵△ADE反折后与△AD′E重合， ∴AD′=AD=D′E=DE=， ∴AE===； （2）∵由（1）知AD′=， ∴BD′=1， ∵将四边形BCED′沿D′E向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′， ∴B′D′=BD′=1， ∵由（1）知AD′=AD=D′E=DE=， ∴四边形ADED′是正方形， ∴B′F=AB′=﹣1， ∴S梯形B′FED′=（B′F+D′E）?B′D′=（故答案为：（1） （3）∵∠C=90°，BC=∴tan∠BEC==， ，EC=1， ；（2）﹣； ﹣1+）×1=﹣； ∴∠BEC=60°， 由翻折可知：∠DEA=45°， ∴∠AEA′=75°=∠D′ED″，

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