第11章热力学基础(3)

（2）由a-b直线下的梯形面积可得

A?11(P?P)(V?V)?(PV122122?PV11) 22（3）由Q??E?A，得

Q?31(PV?PV)?(PV221122?PV11)?2(PV22?PV11) 22

p p p0 P2 b c b mg?p1s l1

a l2

P1 a d Q 0

V1 V2 V 0

V 题11-3图 题11-4图 题11-5图 11-4 如图所示，当系统沿acb路径从a变化到b时吸热80.0J，且对外界做功30.0J。

（1）当系统沿adb路径从a变化到b时对外做功10.0J，系统吸收了多少热量？ （2）若系统沿ba路径返回a时外界对系统做功20J，则系统吸收了多少热量？

解（1）由于内能是状态函娄，故?Eacb??Eab??Eadb，根据热力学第一定律有

?Eacb??Eab??Eadb?Qacb?Aacb?80.0?30.0?50.0J。沿adb时，系统吸收热量

为

Qadb??Eadb?Aadb?50.0?10.0?60.0J

（2）由于?Eba???Eab，所以据热力学第一定律有

Qba??Eba?Aba??50.0?(?20.0)??70.0J

11-5如图所示，一侧壁绝热的气缸内盛2

mol氧气，其温度为300K，活塞外面的压强

p0?1.013?105Pa，活塞质量m?100kg，面积S?0.1m2。开始时，由于气缸内活动插销的阻

碍，活塞在距气缸底部l1?1.0m处。后从气缸底部缓慢加热，使活塞上升了l2?0.5m的距离。问：

（1）气缸中的气体经历的是什么过程？

（2）气缸在整个过程中吸收了多少热量？（设气缸与活塞间的摩擦可以忽略，且无漏气，无热量损失）

解（1）气体先经历等体加热过程，使其压强增大至Po与活塞重力产生的压强之和；然

后等压膨胀使活塞上升l2距离。

（2）活塞重力产生的压强为P??mg/s?100?10/0.1?10Pa。等体加热至活塞开

4?始缓慢上升时，氧气的压强为P?Po?P?1.013?10?10?1.11?10Pa，到活塞上升

545了l2距离时，等压膨胀过程中气体作的功为

A?P?V?PS???PS?2?1.11?105?0.1?0.5

?5.55?103J

等压膨胀过程终了时气体的温度为

T?PV/(?R)?PS(?2??1)/(?R) ?1.11?105?0.1?(0.5?1.0)/(2?8.31)

?103K

气体吸收的热量为Q?A??E?A??iR(T?T0) 25?5.55?103?2??8.31?(103?3?102)

2?3.47?104J

p/（atm） a b c dV /（103m3）

－ 3 11-6 一定质量的双原子气体沿如图所示的abcd路 径发生变化。已知ab为等压过程，bc为等温过程，cd为 1 及内能的变化。 0 1 2 3 题11-6图

等体过程。求气体在abcd过程中所做的功、吸收的热量 解，由图中给出的数据，可知PVaa?PVdd，故Ta?Td，Ea?Ed，即内能变化

?E?Ed?Ea?0，据热力学第一定律有Q=A。

5Aab?P)?10?3?3.04?102J a(Vb?Va)?3?1.013?10?(2?1VcVeAbe??Pdv???RTVbVbVdv??RT?nc VVb由状态方程知，PVbb??RT，故

Abc??RT?n又Acd=0，故

VcVc35?32?PV??3?1.013?10?2?10???2.46?10J bbnnVbVb2Q?A?Aab?Abc?3.04?102?2.46?102?5.50?102J

11-7 4.8kg的氧气在27.0℃时占有1000m的体积，求：

3（1）在等温、等压情况下，将体积压缩到原来的

12所需的功、所吸收的热量以及内能的变化；

（2）等温过程终了时的压强及等压过程终了时的温度。

解 摩尔数??M/Mmol?4.8/(32?10?3)?1.5?102mol （1）等温压缩时，AT??RT1lnV2 V1?1.5?102?8.31?300?ln1??2.59?105J 2由于?ET?0，故QT?AT??2.59?105J 等压压缩时，

11?RT1Ap?P(V?V)??PV????V11211122V111???RT1???1.5?102?8.31?300??1.87?105J22由V2/V1?T2/T1得T2?TV12/V1?

1T1，故 217Qp??Cp,mol(T2?T1)????RT1227 ???1.5?102?8.31?300??6.54?105J

4?Ep?Qp?Ap??6.54?105?(?1.87?105)??4.67?105J（2）对于等温过程，有P2/P1?V1/V2，

P2?PV11/V2?(?RT1/V1)(V1/V2)??RT1/V2?2?RT1/V1 ?2?1.5?10?8.31?300/10?7.48?10Pa232

对于等压过程，由（1）已求出T2?T1/2?300/2?150K

11-8 用热力学第一定律证明一条等温线与一条绝热线只能相交于一点（提示：可用反证法证明）。

证 如果在同一个P-V图上，一条绝热线与另一条等温线相交于两点，这就表示系统从某一初态出发，经过绝热膨胀过程能达到另一状态而温度不变，系统既不从外界吸热，又不减少内能，而对外界作功，这违背了热力学第一定律，所以，绝热线与等温线只有一个交点。

11-9 3mol氧气在压强为2atm时体积为40L，先将它绝热压缩到一半体积，接着再令它等温膨胀到原体积。

（1）求这一过程的最大压强和最高温度；

（2）求这一过程中氧气吸收的热量、对外做的功以及内能的变化； （3）在p－V图上画出整个过程曲线。

解 （1）绝热过程的末态有最大压强，最高温度，由PV=C，得

rr1.4P2?P?5.28atm?5.35?105Pa1(V1/V2)?2?(40/20)5?3 T2?PV22/(?R)?5.28?1.013?10?20?10/(3?8.31) ?429K（2）QQ?0??RT2lnV140?3?8.31?429?ln?7.41?103J V220A? ?V11(PV?PV)??RTln11222r?1V2140(2?40?5.28?20)?1.013?105?3?8.31?429?ln 1.4?120 ?0.93?103J?E?Q?A?(7.41?0.93)?103?6.48?103J

（3）在p－V图上整个过程曲线为

11-10 一气缸内贮有10mol的单原子理想气体，在压缩过程中，外力做功209J，气体温度升高1K。试计算气体内能增量和所吸收的热量，在此过程中气体的摩尔热容是多少？

解 ?E??Cv?T??i3R(T2?T1)?10??8.31?1?1.25?102J 22

Q??E?A?1.25?102?2.09?102??84JCmol?Q?84???8.4J?K?1?mol?1??T10?1

p

11-11 喷气发动机的循环可近似用如图所示

b c

的循环来表示。其中ab、cd分别代表绝热过程， Q1

bc、da分别代表等压过程。证明当工质为理想

气体时，循环的效率

?a

d

TdTa?1??1?TcTb O Q2

V

题11-11图

证 设工质为?mol的理想气体，在等压膨胀bc中，吸热Q1，

Q1??Cp,mol(Tc?Tb)

在等压压缩过程da中，放热Q2，

Q2??Cp,mol(Td?Ta)

循环效率为

??1??Cp,mol(Td?Ta)T?TQ2?1??1?da Q1?Cp,mol(Tc?Tb)Tc?Tbbc、da为等压过程，有

Vb/Vc?Tb/Tc (1)Vd/Va?Td/Ta (2)cd、ab为绝热过程，有

TcVcr?1?TdVdr?1 (3)TVr?1aa?TVr?1bb (4)

由（1）、（2）、（3）、（4）式，得

Ta/Td?Tb/Tc??1?Td?Ta?1?Tc?TbTc?TbTd?TdTbTc

Td(Tc?Tb)TcTT ?1??1?d?1?aTc?TbTcTb11-12 质量为

4.0?10?3kg的氦气经历的循环如图所示，图中三条曲线均为等温线，且

Ta?300.0K，Tc?833.0K。问：

（1）中间等温线对应的温度为多少？ p （3）循环的效率为多少？

Ta b Tc c （2）经历一循环后气体对外做了多少功？ Q1 a Q2 d 0 题11-12图

V

解

??M/Mmol?4.0?10?3/(4.0?10?3)?1mol

（1）ab、cd均为等体过程，由气体状态方程有Tb/Ta＝Pb/Pa，Tc/Td＝Pc/Pd，据题设，

Pb＝Pe，Pa＝Pd，Tb＝Td，故Tc/Tb＝Tb/Ta，即

Tb?TcTa?833?300?500K

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