【教师典型例题专讲】2014届高三数学一轮提能一日一讲（11
月3日）
一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．
1．函数f(x)＝
2
＋a的零点为1，则实数a的值为( ) 3＋1
x11
A．－2 B．－ C. D．2
22解析 由已知得f(1)＝0，即答案 B
2．已知a是函数f(x)＝2－log1 x的零点，若0
B．f(x0)<0
D．f(x0)的符号不确定
x21＋a＝0，解得a＝－.故选B. 1
3＋12
解析 分别作出y＝2与y＝log1 x的图象如图所示，当0
答案 B
3．函数f(x)＝2－x－2的一个零点所在的区间是( ) A．(0,1) C．(2,3)
0
xxxB．(1,2) D．(3,4)
2
解析 由f(0)＝2－0－2<0，f(1)＝2－1－2<0，f(2)＝2－2－2>0，根据函数零点性质知函数的一个零点在区间(1,2)内，故选B.
1
答案 B
4．(2013·陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是( )
A．[15,20] C．[10,30]
B．[12,25] D．[20,30]
2
解析 如图所示，过A作AM⊥BC于M，交DE于N；AM＝40. 由相似三角形得：＝
DExADANAN＝＝＝. BC40ABAM40
解得AN＝x，MN＝40－x，则阴影部分的面积为S＝x(40－x)≥300，解得10≤x≤30，故选C
答案 C
5．(2012·湖北卷)函数f(x)＝xcosx在区间[0,4]上的零点个数为( ) A．4 C．6
B．5 D．7
2
π222
解析 令f(x)＝xcosx＝0可得，x＝0或cosx＝0，故x＝0或x＝kπ＋，k∈Z.
2又x∈[0,4]，则x∈[0,16]，则k＝0,1,2,3,4符合题意，故在区间[0,4]上的零点个
2
2
数为6.
答案 C
6．(2013·安徽卷)若函数f(x)＝x＋ax＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3(f(x))＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数是( )
A．3 C．5
2
2
3
2
B．4 D．6
解析 由f′(x)＝3x＋2ax＋b＝0得，x＝x1或x＝x2，
即3(f(x))＋2af(x)＋b＝0的根为f(x)＝x1或f(x)＝x2的解．如图所示．
2
由图象可知f(x)＝x1有2个解，f(x)＝x2有1个解， 因此3(f(x))＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数为3. 答案 A
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上． 7．(2013·哈尔滨一模)现有含盐7%的食盐水200 g，需将它制成工业生产上需要的含盐5%以上且在6%以下(不含5%和6%)的食盐水，设需要加入4%的食盐水x g，则x的取值范围是________．
解析 根据已知条件设y＝
200×7%＋x·4%
×100%，令5% 200＋x2 x)·5%<200×7%＋x·4%<(200＋x)·6%，解得100 答案 (100,400) 8．若函数f(x)＝log2(x＋1)－1的零点是抛物线x＝ay的焦点的横坐标，则a＝________. 解析 令f(x)＝log2(x＋1)－1＝0，得函数f(x)的零点为x＝1，于是抛物线x＝ay的1??a>0，1 焦点的坐标是(1,0)，因为x＝ay可化为y＝x，所以?a1 ??4a＝1， 2 2 2 2 1 解得a＝. 4 3 1答案 4 9．已知f(x)＝|x|＋|x－1|，若g(x)＝f(x)－a的零点个数不为0，则a的最小值为________． 解析 g(x)的零点个数不为零，即f(x)图象与直线y＝a的交点个数不为零，画出f(x)的图象可知，a的最小值为1. 答案 1 三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10．(本小题10分)设函数f(x)＝ax＋bx＋b－1(a≠0)． (1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点； (2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围． 解 (1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x－2x－3， 令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1. ∴函数f(x)的零点为3和－1. (2)依题意，f(x)＝ax＋bx＋b－1＝0有两个不同实根． ∴b－4a(b－1)>0恒成立， 即对于任意b∈R，b－4ab＋4a>0恒成立， 所以有(－4a)－4(4a)<0?a－a<0，所以0 11．(本小题10分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数． (1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式； (2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值． (精确到1辆/时) 解 (1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b. 2 2 2 2 2 22 ??200a＋b＝0，再由已知得? ??20a＋b＝60， ?? 解得?200 b＝.??3 a＝－，1 3 故函数v(x)的表达式为 4 60，0≤x≤20，?? v(x)＝?1 －x，20≤x≤200.??3(2)依题意并由(1)可得 60x，0≤x≤20，?? f(x)＝?1 x－x，20≤x≤200.??3 当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200； 11?x＋ 当20≤x≤200时，f(x)＝x(200－x)≤?33? －x?210 000 ?＝3， 2? 当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立． 10 000 所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值. 310 000 综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3 333， 3 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时． 12．(本小题10分)(2013·河南驻马店一模)已知函数f(x)＝ ?－x＋ax＋bx，x<1，??x－1?－，x≥1?c3 2 2 在x＝0和x＝处存在极值． 3 (1)求实数a，b的值； (2)当c＝e时，讨论关于x的方程f(x)＝kx(k∈R)的实根个数． 解 (1)当x<1时，f′(x)＝－3x＋2ax＋b. 2 因为函数f(x)在x＝0和x＝处存在极值， 3 2 f＝0，?? 所以??2? f′??＝0，???3? 解得a＝1，b＝0. ??－x＋x，x<1，(2)由方程f(x)＝kx，知kx＝?x?e－e，x≥1，? 32 0一定是方程的根，所以仅就x≠0 时进行研究： －x＋x，x<1且x≠0，??x方程等价于k＝?e－e ，x≥1.??x2 5 －x＋x，x<1且x≠0，??x构造函数g(x)＝?e－e ，x≥1，??x2 2 对于x<1且x≠0部分，函数g(x)＝－x＋x的图象是开口向下的抛物线的一部分，当x11?1?＝时取得最大值，其值域是(－∞，0)∪?0，?； 24?4? e－ee对于x≥1部分，函数g (x)＝，由g′(x)＝xxx－ 2 ＋e >0，知函数g(x)在(1， xx＋∞)上单调递增． 综上所述：①当k>1 4或k<0时，方程f (x)＝kx有一个实根； ②当k＝1 4，0时，方程f(x)＝kx有两个实根； ③当0 4时，方程f(x)＝kx有三个实根． 6 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库（教师典型例题专讲）2014届高三数学一轮提能一日一讲（11月3日在线全文阅读。
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